从开普勒到牛顿——简单版

大科技_杨

前几天，永恒的贝多芬发了一个篇名为“选修课纪念——关于Kepler定律与Newton万有引力定律”的帖子（不知道大科技论坛上没有，最初发表在dlq的http://popularscience.5d6d.com 上），用论文的形式介绍了一下开普勒三定律与牛顿的万有引力定律之间的互推。我把附件下载下来看了看，一大堆式子，代来代去，就一个感觉——晕。像我这种水平的人，如果不拿支笔拿张纸算上半天，恐怕很难看懂。我以前恰好看过一些这方面的书，就想用简单的语言把它介绍一下，让那些非物理专业的人也可以感受这个曾经改变世界的理论的奇妙。如果看完之后发现有什么问题，请联系QQ：604470917。
    由开普勒定律到万有引力比较简单，本篇先介绍这一半，而牛顿到开普勒留到以后再说。
    开普勒定律的内容就不用提了，中学应该都学过，忘了的话可以先看看那篇帖子。

                                       一
    既然行星绕着恒星转，而且太阳是椭圆轨道的焦点，那很自然地，我们会想到使用极坐标，把太阳放在极坐标原点将比较方便。那就先研究一下极坐标。
    1. 椭圆的极坐标形式：
            x^2/a^2+y^2/b^2=1的极坐标形式（极坐标原点在一个焦点）是
            r=p / (1+e cosθ)  其中p=b^2/a，e是离心率。
        如果你不知道这一点，可以自己推一下，将直角坐标中的x全部换成r cosθ-c，y全部换成rsinθ，然后你整理整理整理整理……就出来上面那个式子了，很麻烦的，要有耐心啊。你如果知道椭圆的第二定义的话，那就比较简单了。
    2. 极坐标中的速度。
        极坐标中的速度可不能直接用r和θ分别对时间求导然后拼成一组坐标完事，应该利用直角坐标来推导一下。
        利用最基本的坐标变换
            x=r cosθ y=r sinθ(这个不用解释了吧)
        可以直接写成向量的形式
            r=(r cosθ,r sinθ)=r(cosθ,sinθ)
        对时间求一次导，得到v的两个分量
            v=(-rω sin θ+r’cosθ，rω cosθ+r’sinθ)把它分开成两个向量有下式
             = rω(-sinθ，cosθ) + r’(cosθ，sinθ)
        注意这里的r 和θ都是t 的函数，要应用复合函数求导法则来计算。小心不要漏掉ω！
        这个式子有很明显的物理意义：(-sinθ，cosθ) 和(cosθ，sinθ)都是单位向量。因此可以看出，v由两个速度合成，一个大小为r’(即半径长度对时间的变化率)，方向沿半径方向；一个大小为rω,方向垂直于半径方向。其实这个分解速度的办法在高中时期大家就用过了，不过当时老师不会告诉你原理。
    3. 极坐标中的加速度
        下面拿速度对时间再求一次导，就可以得到加速度，方法同上，这里只给出结果。
            a=(rβ+2r’ω)（-sinθ，cosθ）+(r’’- rω^2)(cosθ，sinθ)
        其中，β是角速度ω对时间的变化率，你可以叫它“角加速度”。
        让我们再来分析一下这个式子的物理意义。
        加号后面的比较容易看出来，半径方向的加速度（向外为正）等于半径长度对时间的二阶变化率r’’减去匀速圆周运动的那个向心加速度rω^2（向心加速度向内，所以带负号）。加号前面的那个与方向与半径垂直（以后称之为横向）的加速度(rβ+2r’ω)有什么意义呢？
        这里有点硬凑的感觉，将（r^2 ω）对时间求导试试，是不是正好等于(rβ+2r’ω)再乘上r。看出点什么来了吗？(r^2 ω)再乘上个质量就是角动量！而横向加速度乘上r再乘上质量就是力矩！角动量对时间的变化率等于力矩！这是个定理，好像是叫角动量定理吧（我看的那些书比较老，名称和现在可能会不一样）。如果你没听说过它也没有关系，因为现在我们已经把它推出来了！

二
    现在开始由开氏三定律向万有引力定律的推导，当然，牛顿第二定律得放到“已知”里。
    4. 现在证明，行星受到的力指向太阳。
        很短时间内恒星与太阳连线扫过的面积可以看成是个扇形，因此行星在很短时间dt内扫过的面积dA=1/2 r^2dθ，于是恒扫过面积的速率dA/dt=dA=1/2 r^2dθ/dt即
            dA/dt=1/2 r^2 ω
        根据开普勒定律，这是个常数，所以r^2 ω是个常数。将它求一次导再除以r，利用上面推导的加速度的式子，会得出结论：行星只有沿半径方向的加速度。再由牛顿第二定律，行星受力沿与太阳连线的方向！
    5. 现在证明，对于某一颗给定的行星，力（质量一定，只讨论加速度）与其到太阳的距离的二次方成反比。
        我们先看看手中有什么。
        一个轨道方程r=p / (1+e cosθ)
        还有一个角动量守恒（质量是个没有关系的常量，省了） r^2 ω=常量 ，令它等于h
        我们手上只有这两个式子，它们足以表明行星的运动状态吗？
        第一个式子只给定了一个轨道，与时间无关。我们从轨道上任取一个位置，将这个位置对应的r代入第二个式子，就可以求出角速度。在一定的轨道上运动，角速度又已知，显然，这两个式子已经包含了关于行星运动的全部信息。
        求加速度很简单，上面已经有了加速度的表达式
            a=r’’- rω^2 ；（由于只有径向加速度，我们只采用了加速度在径向的投影，向外为正）
        只要计算上面那个a，得到一个只与r 关的式子不就行了吗？
        那就先利用轨道方程，对r求两次导吧！
        且慢，先观察一下。
        轨道方程是个分式，且分子比较复杂，学过微积分的人都能想到直接对它求导会是一场什么样的灾难。我们不妨将两边取倒数，即用u=1/r将r换掉。这样，那两个式子就成了
            u=(1+e cosθ)/p……<1>
            ω=hu^2……<2>
        现在再来计算a，一步步得来，先计算r’，再次对时间求导计算r’’
            r’=(1/u)’=-u’/(u^2)
        利用替换后的轨道方程<1>,得u’= -ωe sinθ/p
            r’= ωe sinθ /  (pu^2)
        再次对r’求导前，我们先观察一下我们得到的式子。
        我们的目标是只剩r（或u），其余的量都与时间无关，sinθ再求次导会出现cosθ，那就正好可以利用轨道方程把它换掉。至于这个ω在求导前就必需干掉，不然会出现一个角加速度β，那可就没法办了。所以一见到ω,我们就用角动量守恒那个式子把它换掉。这样可以得到
            r’= eh sinθ /  p  ；很惊讶吧，u^2也恰巧约去了。
            r’’=(eh sinθ/ p)’
                 =ehωcosθ/p
                 =h^2 u^3 – h^2 u^2 / p
        最后这一步变形是用轨道方程换掉e cosθ，用角动量守恒换掉ω得到的。现在可以求a了。
            a=r’’- rω^2
             = h^2 u^3 – h^2 u^2 / p – r (hu^2)^2
             = – h^2 u^2 / p ；一三项竟然恰好消去！
             = – (h^2 / p)(1/r^2)
        a正好与r 的平方成反比，比例常数为(h^2 / p)，负号表示指向太阳！
三
    上式中的比例常数对一颗给定的恒星是个定值，它对太阳系的所有恒星都是定值吗？现在要用到开氏第三定律了。
    开式第三定律说a^3 / T ^2 = 定值 ，设为K。（注意这里的a不是加速度了，是椭圆长半轴长。）这里出现的两个变量a 和T上面都没有出现过，怎么把它们和上面的式子联系起来呢？a似乎还可以和轨道方程有点联系，那T呢？
    有个十分奇妙的小技巧，开氏第二定律说半径扫过面积的速率是个定值，我们已经求得这个确定的速率是1/2 r^2 ω，这个扫过面积的速率乘上周期就是椭圆的面积。这样就把周期T引入了。
    6. 现在研究一下椭圆的面积
        先给出公式S=πab
        如果你的积分比较好，可以拿椭圆方程直接求积分，肯定可以得到它，只是需要些耐心。你也可以观察椭圆的标准方程
            x^2/a^2+y^2/b^2=1 即(x/a)^2+(y/b)^2=1
        可以看出，椭圆是由一个单位圆（圆心在原点，半径为1）横着拉伸a倍，纵向拉伸b倍形成的。那就可以直接写出面积公式了。现在我们得到了这样一个式子：
            1/2hT=1/2 r^2 ω T=S=πab 即
            h=πab/T
    7. 得出结论
        把上式和p=b^2/a直接代入求得那个比例常数为
           (h^2 / p)=(4 π^2 )  ( a^3) / T^2
        看到了吗，根据开氏第三定律，这是个对太阳系内所有行星都一样的常数！
    8. 定义G
        把那个比例常数设为X，那么加速度为
            a= - X / r^2
        根据牛顿第二定律，
            F=ma= - X m/ r^2
        既然是“万”有引力定律，那行星和恒星的地位就应该平等，这里有了一个行星质量m，那就再凑上一个太阳质量M。
            F=ma= - (X/M) Mm/ r^2
        这样把X/M换成一个G得到，然后丢掉负号
            F=GMm / r^2
    9. 太阳系外的验证
        这里的M看作一个常数，因为我们考察的对象都是太阳系内的行星，最后定义的那个G是不是全宇宙普适，还需要进一步天文观测的验证。幸运的是，它被证明确实是全宇宙普适的！.