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从庄家不输钱谈起

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发表于 2009-7-20 16:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
经常有人说”概率是毫无意义的事情,如果事情发生了,概率就是百分之百,如果没有发生,就是零”。这样的想法是对概率完全错误的理解。为了解释概率,我们从赌场坐庄开始。
   我们知道开赌场几乎没有输钱的。尽管有人从赌场赢了钱,但是输的人更多。很多人认为是赌场有”赌神”,或者赌场能”出老千”,其实都不是,赌场赢钱的原因在于概率的应用。换句话说,概率决定了赌场是占便宜的一方。赌客越多,赌场就越不容易输。
   我们来玩一个游戏:如果有14张牌,其中有一张是A;现在我来坐庄,一块钱赌一把,如果谁抽中了A,我赔他10块钱,如果没有抽中,那么他那一块钱就输给我了。有人赌吗?
   这样的一个赌局,为什么说我占了便宜呢?因为在抽之前,谁也不知道能抽到什么,但是大家可以判断抽到A的可能性要小得多,14张牌中才有一张,换句话说概率是十四分之一,而抽不中A的概率是十四分之十三。概率就是这样一个对未发生的事情会不会发生的可能性的一种预测。如果你只玩一把,当然只有两种可能:抽中了赢10块钱,没抽中输一块钱。但是,如果你玩上几百几千甚至更多把呢?有的抽中,有的抽不中,几千几百把的总结果是什么样的呢?
   这就是概率上的一个概念,叫做数学期望。可以理解成某件事情大量发生之后的平均结果。现在我们来看上面的那个例子,抽中的概率是1/14,结果是赢10块钱(+10),抽不中的概率是13/14,结果是输1块钱(-1)。把概率与各自的结果乘起来,然后相加,得到的”数学期望”值是(-3/14)。这就是说,如果你玩了很多很多把,平均下来,你每把会输掉(3/14)块钱。如果抽中A赔13块钱,那么数学期望值是0,你玩了很多把之后会发现结果最接近不输不赢。如果抽中A赔14块钱,那么数学期望值是1/14, 对你有利,大量玩的结果是你会赢钱,我当然不会这么设赌局。
    赌场的规则设计原则就是这样,无论看起来多么诱人,赌客下注收益的数学期望都是负值,也就是说,总是对赌场有利。因为有大量的人赌,所以赌场的收支结果会很接近这个值。比如美国的轮盘赌,38个数随机出,你压一个,压中了赔你35倍,没压中你的钱输掉。其它的赌局规则可能更复杂,比如21点,但是背后的概率原理是一样的,就是赌客的数学期望值是负数。像我们通常见到的彩票,如果所谓的返回比是55%的话,那么花一块钱的数学期望是赔掉0.45块。无论是赌场还是彩票,幸运儿的产生必定伴随着大量献爱心的人。赌场和彩票生意兴隆的基础,是每个人都认为自己会是那个幸运儿。
    数学期望的概念是作理性决策的基础。我们做任何一项投资,做任何一个决定,都不能只考虑最理想的结果,还要考虑到理想结果出现的概率和其他结果及其出现的概 率。否则,如果只考虑最理想的结果,大家都应该从大学里退学–从大学退学的最理想结果是成为世界首富,那个叫比尔盖茨的家伙。
    概率问题的关键是随机性,比如扔一个硬币,谁也无法预测是正面还是反面。同样,掷骰子、摇奖也是。有个最搞笑的职业叫”彩评家”,号称分析彩票号码的规律, 预测下一期最可能的号码。电视里的”彩评”节目往往是专家侃侃而谈,主持人做兴致盎然崇拜状。经常听到的话是”这几个数字前两期出现了,根据概率,下一期 不大可能出现”。这可以称之为一本正经地胡说八道。按照概率理论,两件不相干的事情都发生的概率是各自发生概率的乘积,所以两件不相干的各自概率为万分之 一的事情都发生的可能性是一亿分之一。但是,如果一件已经发生了,那么另一件发生的概率还是万分之一,跟已经发生的事情无关。只要彩票的摇奖没有丑闻,那 么中奖数字是无法预测的。不管前几期出现了什么号码,下一期的号码仍然是随机的。出现过的数字不会避嫌,没出现过的数字也不受到照顾。不过观众还是会觉得 “彩评家”的”预测”是对的,因为他说不会出现的号码后来确实没有出现。其实这种”彩评家”每个人都可以当–你随便写几个数,说”下一期这几个数不会出 现”,再找个神神叨叨的理由,你也就成”大师了”。因为你不管你写什么数字,中彩的可能性都是非常非常小的。
    据说概率是起源于赌场的学问,但是它的价值已经远远超出了赌博。这里举一个很现实的把概率知识转化成经济效益的例子:要在人群中普查一种病,检查方式是抽血检测其中是否含有某种病毒,这种病在人群中的发生率比较低,比如说1%。对于这样的一种普查,成本最高的地方是检测血液,如果能减少血液检测的数量,就能节约大量成本。我们很自然地想到抽每个人的血,然后检测,这样有多少人就验多少份血,简单明了。为了形象起见,假设有1000万人,那么直接检测的方案是测1000万份血。现在我们换一下思路,把抽来的血两两混合,送去检测,如果检测结果阴性,表明原来的两份血都没问题;如果结果阳性,表明至少有一份血有问题,就把两份都重测。这样也可以确定每个人的带病情况。这样作的总检测量是多大呢?两两混合之后,要检测500万份,然后结果阳性的那些重测,大概是20万(1000万人的1%是10万人带病,导致20万份血重测),总共检测520万份的样子。实际上还有一部分阳性的样品是混合的两份血都带病,这样实际的阳性结果比10万份还要少。总之我们看到,检测总数几乎减少了一半,能省很多钱了吧?如果把10份血混一起再测呢?同样的分析,先要检测100万份,加上结果呈阳性的最多10万份混合样品重测–共100万份原始血样需要重测,总共最多检测200万份就搞定了。
    在这个例子里,多少份血混在一起最划算,取决于人群中的发病概率,跟要检测的总人数无关。另外一个考虑因素是血样混合之后,病毒浓度被稀释了,是否还能被检测出来。综合考虑这些因素,运用概率和并不复杂的优化计算,可以精确地算出把几份血样混在一起最省钱而又能完成任务。
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