一个小把戏：教你笔算开根

永恒的贝多芬

记得初中的时候，老师有一次上课时给我们演示了一下笔算开根，当时觉得很神奇。
后来高中的时候学二项式定理，突然感觉可以从这里下手，于是......就找到了这个开根的方法。
哈哈！

也许很多人知道，有的人会觉得无聊，但总有人需要的嘛。想起我高考的时候还用了一下的，帮我做对了一个选择题，嘻嘻。

言归正传——这个写法和除法差不多，具体算法见下：
例如算√5。
1、首先需要推算结果的整数部分。5开根号后是二点多，2*2=4，则约1；
2、这时与除法就不同了。此时在1后添两个0；
3、这时已经算出首位是2（此时是结果的整数部分，所以写2.）了，用2*20，得40；
4、为了除100最大化，40乘以2。此时，在2.后写2作为结果的第二位；
5、注意100减掉的不是80，而是80+（2的平方），这个2是上一步得出的结果2；
6、得16，添两个0；
7、用22*20，得440；
8、为了除1600最大化，440乘以3，得1320，将3写在2.2后，作为第三位；
9、1600减掉1320+（3的平方）；
10、得271，添两个0；
11、用223*20，得4460；
12、为了除27100最大化，4460*6，得26760，将6写在2.23后；
13、27100-26760+（6的平方）得304，添两个0；
14、用2236*20，得44720，大于30400，故在2.236后添0，在30400后再添两个0；
15、用22360*20，得447200，为除3040000最大化，乘6；
16、如此往复......
计算器的结果：2.236067977499......

下面附上解析图，最后一步约7的话，发现相差不多，而且一般计算有这种精确度已经足够了。
理论上这样可以一直做下去，每一步得到的结果是精确的。

又，这种方法可以用在小数的开方上；开三次方的方法与之类似，不过我记得每步好像不止乘20，还要加两个结果，下面的要加三个零什么的，以前推过，太难算，就忘了；开四次方也是行的，不过更复杂......

嗯，这是一个小把戏。





op.207

PROTON

嗯，
笔算开方的方法初中时我们没讲过
但自己尝试过，很不错
没事的时候就计算着玩
只是有点繁琐.......

liota

牛顿法其实也不错的.

死不回头

大哥，这么古老的方法对我们高中生没多大用。

死不回头

大哥，这么古老的方法对我们高中生没多大用。

死不回头

大哥，这么古老的方法对我们高中生没多大用。

PROTON

TO:死不回头
就算是没多大用，
那也可以作为课外了解的内容.......
那其实是很好的。

永恒的贝多芬

牛顿法其实也不错的.
liota 发表于 2009-4-28 12:57

嗯。关于牛顿法，我在这里说几句。

牛顿法，又称牛顿迭代法或切线法。其基本思想说白了就是把一个方程转化成x=f(x)的形式。取一个初值X0，代入f(x)中，得到的结果作为X1，再代入f(x)中，得到的结果作为X2......这样就能得到越来越精确的解。

对f(x)=0，我们可以得到一个迭代公式（这个公式的推导要用到Taylor公式，所以直接给出）：
X(n+1)=Xn-f(Xn)/f'(Xn).

对于求√A，可以令f(x)=x²-A，则其迭代公式为：Xk+1=1/2(Xk+A/Xk)。

大哥，这么古老的方法对我们高中生没多大用。
死不回头 发表于 2009-4-29 01:10

嗯，我前面说过，总会有人需要的。
而且，我还是高中生的时候，我觉得这个方法还是很有用的（现在也是）。
另外，我发这个帖子的目的是激发大家对这种方法进行自己的推导，所以我特意强调了一下是学二项式的时候想到的，又提了句对开N次方的方法类似。所以，这不仅是一个方法介绍，更是一个思维训练题。我相信会有人提出更好、更简单的方法的。



op.213

达芬奇的晚餐

有无实际作用并不重要，计算机能够开平方根背后也是靠这样的算法才能算到的。
重要的是能够引导大家的思考。

Mの3nin呵

其实我们初中时老师告诉我， 只是当时不知道缘由！现在有点知道呢

ZHL19910725

为什么要乘以20呢？

Mの3nin呵

还要加一点 ，假如数是个大数，或者有小数部分：你可以自小数点前后部分开始，每两位划一起....
例如sqrt(根号）(4225.365）可以化作42\25/.36\5

COLINS.T.BENNET

谢谢你 我一直想知道 转载了

飞凡

初中问老师：为啥乘20？
老师说：以后有贝多芬教你，我就不教了……
现在问小贝：……

Harviu

为什么要乘以20呢？
ZHL19910725 发表于 2009-6-2 22:28

我也想问，其他都看懂了，

永恒的贝多芬

看来大家都有追本溯源的探索精神嘛。

为方便叙述，用a.bcdefa……的形式表示小数。
我当时是这样想的：若√n=a.bcdef……，那么确定a之后，a、b满足(a+0.b)²+q=n，其中q为误差项。
展开就是：a²+2×a×0.b+(0.b)²+q=n.
确定b的那几步实际上就是把q算出来。20就是出于中间的一项。因为计算b时，a²已经被减掉，此时n后加了两个零，所以后两项要乘以100.
b²的计算实际上已经包含乘以100了。中间项计算时是用的20×a×b，也是100倍。也就是说，这个20里的2是本身要的，10是为了凑成100倍。

这个方法本质上是不断分解误差项q。计算c时，n=(a.bc)²+q'=(a.b)²+2×a.b×0.0c+(0.0c)²+q'，其中后三项就是之前已经算出的误差项q，这一步又减掉了后三项的前两项，得到一个更小的误差项q'。所以，理论上这种方法是精确的。




op.278

ty112358

这个方法不错，但太麻烦

zheng3693

我们老师都讲过

a644416574

太复杂了，还是老师的好

duck251

这个很有用！

vgt78

初中的时候，老师有说过。但是，计算机随身的现在，还能有什么用呢？

ctwin

不错，顶了

武氏

这个太累人了，不想用计算机，其实还可以翻数理化用表的

双重.幻想

这个方法好，以后终于可以有根据做这方面的题了。

liota

在高考前就锻炼过可以在40秒左右不精确运算一个任意的三位有效数字的开方。
主要是的是展开式。
比如26开方，就化成sqrt(25*（1+1/25）)=5*(1+1/50)=51/10=5.1
正确答案是5.099，那么就只有1/1000数量级的误差了，考试时足矣。