A(n+1)=A(n)+1/A(n),A(1)=2通项

中原 · 发表于 2007-12-8 23:15

这是我高中遇到的问题，想知道通项可不可求，如果可以，如何求

中微子 · 发表于 2007-12-15 14:12

求8出来……

liota · 发表于 2007-12-15 17:00

同上...........

baddie · 发表于 2007-12-15 22:11

不会啊，好难的题目
貌似是差比数列

狂人小群 · 发表于 2007-12-16 19:50

。。。。。。。。。我求不出来

baddie · 发表于 2007-12-19 20:57

我问老师，他也不会。。。:L :L :L

中原 · 发表于 2007-12-19 20:58

我现在觉得求出来的希望不大，只希望证明不能求出通项

感冒的冬天 · 发表于 2007-12-20 19:56

原来我写在这个位置的解答有错，所以删掉了。

[ 本帖最后由感冒的冬天于 2007-12-21 14:14 编辑 ]

baddie · 发表于 2007-12-20 22:11

我还以为是对的额。。。

[ 本帖最后由 baddie 于 2007-12-21 21:55 编辑 ]

liota · 发表于 2007-12-22 17:33

我问了老师,并发动我们年级所有认识的数学高手..目前仍然没有答案...

死不回头 · 发表于 2007-12-27 15:44

题目看不见，能解释一下吗？

baddie · 发表于 2007-12-27 22:50

猜想：通项是不能用初等函数表示出来的.
理由:通项的式子是非线性的.难以用一般的方法求出来。要求的所谓的“通项”，其实也只不过是以n作自变量，用那八九类基本初等函数复合而已。否则，若不能用那些基本初等函数复合得到，通项也就不能精确地表示出来了，只能求助于计算数学，求出某一项的近似值，也不能求出所有的近似值。

所以，现在首要的问题就是证明这个通项能不能写出解析表达式，即用初等函数复合出来。如果这个问题解决不了，很可能我们的一切努力都是白费了。

在微分方程中，刘维尔证明过几乎所有的非线性方程，解函数没有解析表达式。

在代数中，伽罗瓦理论告诉我们，次数高于四次的多项式，没有通用的求根公式。

而在这里，我估计结论差不多。更具体的如何去操作，不得而知了。或许前辈们早就给我们证明过了，只不过我们看得书少了，还没见到。

但可以证明这个通项是趋于正无穷的.从已知的式子,利用归纳法可证an<=n,从而1/an>1/n,从而a(n+1)>=an+1/n,而an递增，从而通项的增长速度不慢于调和级数的.

baddie · 发表于 2007-12-27 22:50

你们觉得这样解释可以嘛？

baddie · 发表于 2007-12-30 21:17

怎么没人关心这道题目了啊

中微子 · 发表于 2007-12-31 16:16

貌似跟调和级数差不多
肯定是不能用初等函数表示的

ZZP · 发表于 2007-12-31 18:00

这题不是一般人能想出来的，我也回去想了一下，推下去是找都规律了，但是无法用通项公式表示出来~~~

hackxingxing · 发表于 2008-1-1 22:10

答案是A(n)=4+n(n-1)/4+(n-1)(n-2) n大于等于2

感冒的冬天 · 发表于 2008-1-1 22:17

不对吧。A(2)=5/2;A(3)=29/10;
那个的通向公式算a(3)=15/2

hackxingxing · 发表于 2008-1-1 22:47

把分子看成一个了我，原来是两项，回去在算，呵呵！

感冒的冬天 · 发表于 2008-1-1 22:48

不是不关心这道题，只是不把题解出来的话，其他的说什么都没什么用。这是我的数学观讲大道理很容易，可是和把题目解出来是两个境界。最近我看到很多人对这个题目的理解都还不够深刻。所以我说一说我的想法吧，首先通项如果存在，那也决不可能是像楼上的那样是线形多项式的。这个数列说到底是函数的迭代。我们来看看迭代的性质。y=x+a，n次迭代式为y=x+an。y=ax,迭代后为y=（a^n）x。看到了吗？迭代式一定是一种比原函数高阶的。
前人的研究已经发现，即使是很简单的函数迭代后也会变得很复杂。例如f(x)=(ax+b)/(cx+d)，它的迭代式12次迭代是长达3页纸的的多项式。
许多的迭代式都是求不出来的。找规律是一种比较低等的方法。在初等方法中，我们通常会用叫不动点和桥函数的方法。我给各位一道题目吧。这道题一定是有答案的。y=x^2/2x-1是竞赛题，竞赛书没答案，高一的时候，没做出来，现在觉得很简单了。给个提示把。这是个美妙的方法
过段时间我公布答案。
下面给 baddie关于这个数列求极限，其实可以这样做，我想这样简单一点。
另外，关于这个数列和调和的关系。我觉得他们的差别其实是很大的。y=(x+1/x)/2,y=x-1/x.（对了，y=(x-1/x)/2得迭代式是很容易求得，有情趣的求一下吧，可以加深对结构的理解）结构的微小差别带来的差异是巨大的。会想到混沌吧，他们都属于数学上的一个领域——动力系统。

[ 本帖最后由感冒的冬天于 2008-1-3 11:13 编辑 ]

liota · 发表于 2008-1-6 15:53

冬天的那个极限的证明有问题,
lim(n-∞)a[n+1]=lim(n-∞)a[n]+1/(lim(n-∞)a[n])的前提是a[n]的极限存在,
请问如何证明a[n]极限存在?

感冒的冬天 · 发表于 2008-1-6 16:12

在数分里，数列趋于无穷也认为极限存在，这是一个极限的扩张定义。我看得是高等教育出版社的《数学分析教程》常庚哲，见p23。
这是个单调增数列。所以极限为常数或无穷大。后有那个证明

liota · 发表于 2008-1-6 18:21

貌似是这样的,期待答案的出现咯~

chenxiaoxi · 发表于 2008-1-11 22:37

原帖由 baddie 于 2007-12-27 22:50 发表
猜想：通项是不能用初等函数表示出来的.
理由:通项的式子是非线性的.难以用一般的方法求出来。要求的所谓的“通项”，其实也只不过是以n作自变量，用那八九类基本初等函数复合而已。否则，若不能用那些基本初等函数 ...

用如何归纳法证明:An<=n
显然An与n的关系随n的递增会发生改变的嘛!

夏力钢 · 发表于 2008-2-20 12:44

哇，这道题好有挑战性啊！

账号		自动登录	找回密码
密码			立即注册

A(n+1)=A(n)+1/A(n),A(1)=2通项

评分

答案是A(n)=4+n(n-1)/4+(n-1)(n-2) n大于等于2

看错题了，回去再算！

本帖子中包含更多资源

哇，好有挑战性啊！