电磁感应的困惑

sunzhepeng

光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

风笛手

开始有个短暂的充电过程，充电完成后相当于断路，但这过程中棒动能损失，转化为电场能储存在电容器中，转化媒介是洛伦兹力。。。
当然平衡后，匀速，感应电动势E=blv ，也等于电容器端压。
能量转化：1/2 mv2- 1/2m(v0)2=1/2 CU2   , U=E 。
大概就这样。。。

sunzhepeng

请用动量再算算，会得出不同的结果

玩转UFO

高中不是有这种题吗

liota

貌似系统动量不守恒,导线所受的安培力为变力,是不能直接求的吧.

风笛手

暂不知如何用动量解决，没有动量守恒，动量定理的话 力和时间也不确定。。。

sunzhepeng

当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：
BLv=U=q/C
而对导体棒ab利用动量定理可得：-BLq=mv-mv0
由上述二式可求得：v=mv₀/(m+CB²L²)


这样做对不？

风笛手

动量做法是对的，我错了...晕

中微子

这个题出的有问题
如果把电容换成电阻，才有一个最大速度存在
事实上本题这种情况中，导体棒将以一个恒定加速度在导轨上运动直到电容被击穿，有兴趣的话可以算一下这个加速度是多少~

风笛手

我想你是看错了，如果是有个恒力在拉动棒才会如你所说。
这里条件是给一个初速度，或者说瞬时冲量吧，之后就没有动力了，因此平衡后会有一个小于初速度的速度。

风笛手

严格解法可以这样：
两个方程，一个电容充电的微分方程，一个动力学微分方程。很好解，可以解出v关于t、u关于t的函数，
带入边界条件 U=E ，即得结果，与用动量定理一样。

sunzhepeng

我想问用能量守恒计算为什么结果会不一样？

宙思宇

我这里怎么看不到图片啊？

宙思宇

系统动量是守恒的。

中微子

好吧……我来发正解……
电容器带电量由感生电动势决定，即Q=CV=CBLv，L为导体棒的长度，v为速度
而流过导体棒的电流恰好等于电量对时间的导数：I=dQ/dt=C*dV/dt=CBL*dv/dt=CBLa，a为加速度
把电流的表示带入运动方程ma=mg-BIL，解得棒将以恒定加速度在导轨上运动
a=mg/(m+B²L²C)

Ps1：因棒一直在加速，所以不能直接套能量守恒和动量守恒
Ps2：还可以考虑一下把电容换成电感，结果又不一样

风笛手

好吧....我还得再纠正一次......
  首先，楼上做法所依赖的题设是“杆在竖直平面内，受恒力mg作用”，但楼主的原题以及其图都是说“杆在水平面中，只给个初速，之后并没有‘动力’”，运动学方程应是 ma=-BIL （无摩擦）；且最后是以匀速运动。
  第二点，就是这个题从物理过程分析，必须考虑杆或框架的电阻R——否则必然会出现一个无限大的充电电流，
直接击穿电容器，就没什么意义了。好，这一点确定了，也就成了 RC 电路的充电过程，方程为 u+iR=E=BLv，注意这里：充电过程中 电容器的电压U不等于BLv ，所以楼上的 Q=CV=BLv ，似乎不妥。
  参考解法： m*dv/dt=-BLv  ；u+BLC*du/dt=BLv , 两式联立解得v=v(t),u=u(t),带入边界平衡条件 u=BLv（即完成充电，开始匀速），即得结果。
  关于 为什么不能直接用能量做法 ，很明了了，就是因为必须有R，也就有电热耗散，要把这一部分能量考虑进去。
PS：这个题本无所谓动量守恒，楼主是说用动量定理 F*dt=d（mv）——这并无什么限制，不错。

风笛手

抱歉，笔误一个引用的式子 Q=CU=CBLv

sunzhepeng

为什么非得要有个R存在呢？

中微子

呃，看错了
这样的话导体棒将恒以v0运动下去。电路中除了初始运动的瞬间，没有电流

风笛手

说“瞬间”不妥吧，应该是一段短暂 但绝不是无限短的时间。
在这段时间中的冲量是不可以忽略的，因而其动量必然会改变，末速度不应是V0.
就算从能量角度考虑，杆的动能也因安培力功不可避免的会损耗。

风笛手

这一点已说过了，如果没有R，初始时 E=BLV0  对电容充电 ，将会产生无限大电流，在无限短时间内完成对电容器的充电，这样由于充电时间“无限短”，将无法考虑冲量，或者说相当于
“没有”冲量，末速度就是V0....
          连过程都没有，这样这个题还有什么意义......

风笛手

再补充说一次：我所作的分析都是在“考虑有R的前提下”，否则我不觉得有什么意义