[原创]"平分秋色"问题的证明

大科技_杨

问题：

　　若p是质数（即素数），且1/p写成无限循环小数后循环节长度为（p-1），则1/p的循环节中，数字1,4,2,8,5,7出现的次数相同。试证之。

证明：

　　在除法竖式中，从某位开始往下的运算，仅由除数和上一步运算所得的余数决定（注1）。因此，在一个循环节的运算中，产生的余数不可能重复。每商一次商，便产生一个余数，因此余数有（p-1）个。而余数小于p，因此所有余数必是1~(p-1)，不重不漏。以上均指对一个循环节的运算。
设上一次求商的余数为Ｒ，本次的商为a，本次的余数为r，则有
　　10R=ap+r
　　R=(ap+r)/10
　　因为　0<r<p,　所以　当且仅当ap/10<R<(a+1)p/10时，商a。
　　因为　R∈{1,2,3,…(p-1)}，
　　所以(商的一个循环节中a出现的次数)=(一个循环节的运算中商a的次数)=(R的整数解个数)
　　设p=10x+y;　y是0~9的数字。
　　则
　　ax+ay/10<R<(a+1)x+(a+1)y/10
　　因为p是素数，所以y可取的值有1,3,7,9。
　　利用枚举法，我们得到下表，表中第一行标志着a的不同取值，第一列标志着y的不同取值，表中央的值表示在相应的a,y取值时a出现的次数。
     0      1      2      3      4      5      6      7      8     9
1   x       x      x       x      x       x      x       x      x      x
3   x       x      x     x+1    x       x    x+1     x      x      x
7   x     x+1  x+1     x    x+1   x+1    x     x+1  x+1    x
9   x     x+1  x+1   x+1  x+1   x+1  x+1   x+1  x+1    x
　　查表可知，不论p取何值，1,4,2,8,5,7出现的次数均相同，平分秋色问题得证。


后记：
　　其实，1,4,2,8,5,7“平分秋色”只是表中的一个特例而已，由表我们可以推测出任意1/p的循环节组成（注2），（当然，对p的限制条件不变）。也可以用类似的方法找出其它进位制除法的相似的表（注3）。


注：
　　1、　比如计算1/7，从余3开始往下的运算和直接计算3/7是完全相同的。
　　2、　比如已知1/499的循环节共有498位，查表知（x=49,y=9）：1~8各出现50次，0、9各出现49次。若不信，可以找张超大的纸亲自试一下。
　　3、　只要将10换成相应的进位数即可，查八进制的表知，在八进制中1,3,4,6“平分秋色”。

[ 本帖最后由 大科技_杨 于 2008-8-15 16:00 编辑 ]

ZZP

   真是原创的，你就强悍了，偶只会一个最简单的 1/7=0.142857142857........

白痴

你数学好强悍啊 ..这些估计我一年都证不出...

绿色草原

显然我的数学不行