由飞矢不动引出的

大科技_杨

我所要说的是著名的飞矢不动悖论，悖论是这样出现的：
      一、 飞矢在每一特定的瞬间只占据空间上的一个特定的点。
      二、 每一个特定的点都是静止的。
      三、 所以许多静止的点的总和是仍是静止的。
                                        一、辩证法
    有一期《大科技•科学之谜》杂志上说，通过运用辩证法进行分析，就能找到以上推断的谬误之处，那就让我们来看看无所不能的辩证法是如何寻找问题的症结的吧。为了方便以后的分析，我给它简单地分了一下层次：
      1、 错误之处在于没有弄清楚运动与时间、空间的间断性与不间断性的辩证统一关系。
      2、 不是在时间的流动中来看飞矢的位置是否改变，而是孤立地看飞矢在每一时刻都在一特定位置上，以偏概全，断然做出结论，这是非常错误的。因此“论据二”不能正确地说明问题。
      3、 “论据三”也是片面的，可以用放电影的原理来说明：每一张胶片都是静止的，放映时却是连贯的。因此，静止的点可以表现为运动。
    乍一看，这么一大段分析，有理论，有比喻，确实十分深奥，仿佛是非常有道理的。但仔细推敲，就不难发现以上分析全是废话。我尝试着把以上分析换了种“说法”，原意未变，只是去掉了掩人耳目的“术语”。
      1、 之所以出现矛盾就是因为你把问题中的各种东西弄懂，因为你没有用辩证法中的相关概念。（等于什么也没说，不过就算是开个头吧。）
      2、 你把它分解成若干静止的点的思考方式有问题，它是不合乎辩证法的。你在看它“静”的同时，必须同时承认它是动的。（又一句废话。之所以出现悖论就是因为从甲乙两个方面思考同一个问题结果相矛盾。要是非得说，“不能从甲方面分析，那样是‘以偏概全’，‘非常错误的’，是‘不能正确说明问题的’。那天下还有解决不了的悖论吗？甚至不需要知道悖论的具体内容，辩证法就能找到其“症结”。这真是华佗再世，扁鹊重生都达不到的至高境界啊！可以用这种方法解释一下双生子佯谬试试。）
　　　3、 因为有限张静止的电影胶片快速切换可以给人以连续活动的错觉，因此无数个静止点组成的事件也可以是连续运动的。（可以看出，类比的双方除了表面相似之外，本质并无类似之处。如此“片面”的分析，实在不敢苟同。）
    原来辩证法的分析全是一堆废话了。那么为什么它会给我们以解决了问题的错觉呢？我们来看一下辩证法的语言，那是相当有特点。我们稍微注意一下“非常错误的”之类的词就会发现辩证法真的是非常“嫉错如仇”，用了这么多主观色彩非常浓烈的词，将对方驳得体无完肤，置于万“错”不赦之地，然后才进行“深刻的批判”。可是凡是真正希望解决问题的，都要把自己的语言弄得越精练、越简明、越易懂越好，而那一大段分析中却包含了尽可能多的“术语”。这些术语其实只有一个意思：你错我对。辩证法的讨论不像是科学地探讨问题，而像上级给下属讲大道理，却不给下属丝毫反驳的机会。怪不得它这么受青睐。
    随便翻开一本现代汉语词典，查一些关于哲学的词条，你会发现，所有的哲学都有毛病，都不够先进：有的唯心，有的形而上，有的不科学，有的既唯物又唯心，叫二元论。但惟独辩证法是全面的、科学的、先进的、永远正确的、毫无瑕疵的（当然，什么也不说或只说废话就永远不会错）。但辩证法告诉我们，事物是发展的，现在的事物早晚会消亡；辩证法还告诉我们，任何事物都有两面性，我们要看到它落后的一面。这本身就很有悖论的味道，但即使是悖论，辩证法也是可以“闭着眼”解决的吧。
                                          二、康德的说法
      一、一切事物都是由单一的，不可分割的东西构成。
      二、世界上没有单一的东西，一切都是复杂的，可分割的。
    很显然，康德的这两个命题正是“飞矢不动”的基础。然而康德并不打算找出它的矛盾之处，他想说的是：世界是一种客观的存在，它们没有矛盾，有矛盾的只是人们的理性认识，用存在矛盾的理性去认识没有矛盾的客观世界是不可能的。
    我不太喜欢这个观点，它太悲观了，我相信理性的逻辑是没有矛盾的，至少是“可以”没有的。我们正可以从以悖论出发，好好地分析一下我们的逻辑，看看它有哪些误区。就算误区不能被全部消除，我们也不能停止刨根问底的探索。未知是无限的不能阻止我们认知的脚步。
不过康德的说法不无道理，他至少指出了矛盾不在自然界，而在我们的认知之中。那我们就来分析一下康德的悖论。
    这两个问题好像哪个也没错，同时又存在着严重的矛盾。第二条说，一切事物都可以分割无限多次，直到每一份无穷小，也就是说，事物没有不可以分割的组元。那第一条又是什么意思呢？是说存在有限大小的不可分割的事物的组元吗？似乎不是。量子力学所描绘的微观世界我们姑且不讨论，来看一条概念中的线段，它由点组成，但是每一个点的长度为0。由点组成的线段却是有长度的；线段也可以无限分割，直到成为点为止。等一下！既然可以分割无限多次，那“为止”是什么意思！
    看来，问题就出在处理无穷大这一概念的时候。这是问题的症结所在吗？正是。第一条是第二条的逆过程，但第二条永远不能用有限步来完成，又何来“逆过程”。一个无限过程的“逆过程”已经超出了人们的常识。类似的例子还有：一根无限长的绳子，从两头捋起，能捋到一起吗？整数和偶数哪一个多？
    稍微留心就会注意到，著名的“阿基里斯悖论”与“飞矢不动”本质上是相同的。简单介绍一下：阿基里斯是传说中善跑的英雄。如果让这位英雄去追赶一只慢悠悠的乌龟，假设一开始英雄在a点处，乌龟在b点处。当英雄飞快地跑到b时，乌龟已经在这一段很短的时间里前进了一段，到了更前面的c点处。当英雄用更短的时间跑到c处时，乌龟又前进了更小但长度大于零的一段，到了再前面的d……于是这个过程永远也不会结束，也就是说，英雄永远也追不上乌龟。其实我们只是在头脑中将英雄赶上乌龟这一过程分割了无限多次，把自己弄晕了而已。我们将这段时间分了无限多次，并不代表它的长度是无穷大。
    阿基里斯悖论讲的是将时间分成无成无穷多份，再拼起来后长度无穷大；而飞矢不动讲的时将空间分成无穷小的份，再拼起来后长度无穷小。那我们就来仔细看看将一条线段无限分割后再拼起来的情况（这条线段既可以表示空间，也可以表示时间）。
                                       三、数学的解释
    为了把问题说透，我可能要先扯得远一点儿了。
    在数学上，任何概念都需要有一个精确的，无歧义的，可理解的定义。数学上的无穷大和无穷小都用一个过程来定义（这里的“无穷小”，指的是“正无穷小”，“无穷大”指的是“正无穷”），是动态的，像两个人在较劲：甲说一串数最终趋于无穷大，那么他就要接受乙的挑战。乙会给出任意大的数，这时甲就要在那一串数中找到这样一项，自该项后的每一项均大于乙给出的数。乙变换不同的数，甲总能成功，那么这串数才可以说是趋于无穷大。可以看到，我们将“无穷大”这种很难定义的概念用“足够大”这样有明确含意的概念表示了出来，我们的各种讨论也就有了基础。
    如果读者对这一段感到很难理解，可以参考一下有关高等数学的书籍。
    无数个数组成的数列的趋向是个动态的过程，无限多个集合的交集或并集的结果却是一个静态的，或者说确定的集合。要看一个元素是否属于这一串集的并集，我们只要看看那一长串集中，是否存在一个集包含这个元素。我们可以把这个集明确地指出来。它是第有限个集，是易讨论的。比如这一样一串集，第N个集是1到1/N之间的所有实数（包含两端点）。那我们可以说任何一个0至1之间的正数都包含在这一串的集的并集中。因为任给一个数，例如0.001，我们都可以找到一个集，例如第1000个集（N＝1000），使它包含0.001，1000是个有限大小的数。但是我们无法找到一个集，使它包含0。因此，0不属于它们的并集。
    有了这些对无穷这一概念的铺垫，我们就可以对与之相关的问题进行逻辑严密的讨论与分析，而不是仅凭着对无穷大这一概念的想像来处理问题了。
    接下来我们要定义测试的概念。其实一个集的测度，在一维空间中叫长度，在二维空间中就叫面积，在三维空间中就是体积。有些人可能会以为这些概念用不着定义，因为我们一直在用它们，从没遇到过什么问题。但那只能对付一般情况，在讨论许多抽象的，难以的想像的问题时，麻烦往往就出在这些“理所当然”上。
    我们常用“数格子”的方法来估算一个不规则图形的面积，格子越细密，估计得越准确，但永远会有误差。可是是在数学上，我们要求其误差“趋于无穷小”。为了很好地估计误差，我们可以数两次格子。一次将不满一格的全部数上（所得结果叫上界），一次将不满一格的全部丢掉（所得结果叫下界），这样之后我就敢拍着胸脯保证，它的面积肯定处于两者之间。
    对于许多集（这里指点集，它们排成某个图形，暂以二维图形这例，因此称“面积”）来说，当网格趋于无限密的时候，两次测量的面积趋于同一个值，即这个图形的面积。这就是“约当测度论”。但这个理论有些缺陷，对于有些常见的集，上界和下界并不像我们所期望的那样趋于同一个极限。幸好有两种特殊的集，可以证明，总能用这种方法求得其面积的，即“紧集”和“开集”。定义了这些集的面积，我们就可以用这些集代替“格子”来测其它集的面积。这样，对绝大多数（我们能想像的）集都可以定义其面积了。（事实上，只有那些按非构造性的方法用集论的“选择公理”得到的那些集是例外。）这就是勒贝格测度论。
    关于测度的理论确实比较复杂，这里介绍一下是为了让读者明白：这一切都是有严格而且合理而且漂亮的定义的，你当然可以不承认这些定义（它们都是人为规定的），但你的定义很可以会将问题变得更复杂，更难理解。下面直接介绍几个与本文有关的结论：
      1、 若有限个或无限个集不相交，且这些集组成的“集的集”（这个集的元素是集）可列，通俗地讲就是这一串集可以排成一串。则这一系列集的并集的测度等于各个集的测度之和。
      2、 点的测度为0。结合1可推知，可列点集测度为0。（不可列点集的测度不一定为0，如康托尔集。）
    我们还需要约定一下什么叫做“运动”，我想如果把它定义成为“位置改变”或“通过了路程”应该都没有什么疑义。（更准确地说应该是“通过了位移”，但我们要讨论的几个问题都是直线运动，简单起见，讨论其路程。）也就是说，问题的关键在于，那些静止的、长度为零的点，能否构成正的长度。
    在这一部分中，还有两点需要说明：1、测度定义里的“网格趋于无限密”的说法不太准确，因为我们很难把各种各样的网格排成一列，导致我们难讨论其极限。更准确的说法是“含于某集的网格的测度的最小上界”和“包含某集的网格的测度的最大下界”。 2、“图形”这一词有时作为术语使用另有含义，专指区间的交并集，即本文所说的“网格”。但本文中的“图形”是泛指。
                                  四、 回到“飞矢不动”上来
    有了这些数学知识作基础，我们再来审视一下这个悖论本身，论据一、二没有问题，线段是由点构成的，点的长度也是零。但是论据三有问题，无限多个静止的点组成的集合的长度不一定是0！这可能与我们的直觉相悖，那我们来看一看我们的直觉是怎么得出结论的吧。
    一个点的长度为0，两个点的总长度为0，三个点的总长度为0，n个点的总长度还是0……把n个点的总长度作为一个数列，n趋于无穷时这个数列有极限——0。仔细考察一下，这也是符合极限的定义的。但是，这样的推理用到了一个隐含的前提：组成一条线段的所有点是可以排成一列的。但事实却是，这样做不到！所有的有理数可以排成一列，但对实数却不行，不信你可以试试。不要简单地说“按由小到大的顺序排列”，因为你要做的是找到一个排列规则，它要经受这样的检验：能说出第N个数是多少；任给一个实数，你要说出它是第几项，或至少提供一种方法能用有限的步骤来判断它是第几项。
    也就是说，长度为0的点完全可以构成长度有限大小的线段，静止的点也可以构成运动的轨迹！
再来看一下将线段分成点的过程，我们可以选择最简单的二分法，但是无论怎么分，只要每一次分割的分割点的数量是有限的，无论进行多少次，每一段的长度都不是零，只能趋于零而已，与点有本质的区别。这也超出了我们直觉，但它就是这样。

大科技_杨

　　　　　　　　　　　五、 康德有道理
    线是实实在在的东西，更是数学上一个极抽象的概念。有实数三大公理在那儿做保证，我绝不相信它本身存在矛盾。问题其实就出在我们的认识上。我们自己抽象出了一个很奇妙的东西，然后它的一些性质超出了我们的常识，于是我们开始诧异了。问题本来就没有得到多么清晰而严密的表述，竟有人用更模糊的回答来将其解释，只能将人的认识的局限再次掩盖起来。
    有了那些数学理论作基础，悖论看起来非常简单了。似乎悖论本身倒不那么重要了，通过对这个问题的讨论，我们可以对实数，对集合，对极限有一个更深的认识，我想这就是悖论的魅力与价值所在吧。

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