三扇门问题的完整解析

大科技_杨

三扇门问题的完整解析
　　有一个很有名的问题。
　　你参加一个游戏：三扇门中有一扇后面有奖品。你选中了一扇门（假如是1号门），尚未打开它。这时，主持人为了增加悬念，先打开了剩余两扇中没有奖品的一扇（主持人事先知道奖品在哪，假设他打开了3号）。现在，你获得了一次改变最初选择的机会，你可以继续选择1号，也可以改选2号。请问，哪一选择获奖的概率大一些？
　　这是一道极具迷惑性的问题，我初次见时，认为剩余两扇门没有什么区别，概率平分。后来我做了个实验，发现事实并不这么简单。事实上，改变最初的选择的话，获奖的概率要大一些，占到2/3。
可以这么考虑：如果你一开始就恰好选中了有奖品的一扇，那么坚持原来的选择才是对的；如果你一开始选错了，那么改变原来的选择你就选中了。显然，前者的概率是后者的一半。
　　这样的解释已经很完美了，但仍不能让我满意。它还没有达到一针见血的效果。要完全理解一个问题，必须从任何一个方面都说得通才行。在主持人没有打开3号的时候，很显然1、2号的概率是平分的，各占1/3。为什么主持人打开3号门这一动作会使3号的概率全部跑到2号里面去，就因为我把1号“捂住”了？

　　奖品已经放好了，它在哪扇门后已经是一个确实的事件了，我们为什么还要讨论它的概率呢？很简单，因为你不知道——这个事件对你来说是未知的，是个不确定的事件，我们可以把这种概率叫作“主观概率”，因为它因得到的信息而异。对于主持人，这个概率就是100%了。
　　历史上有一个相关的有趣的例子。《三国演义》里面司马懿中了诸葛亮的空城计，其实很无奈。诸葛亮在城楼上的一通表演已经把“城内有伏兵”这一事件对司马懿的主观概率提到很高了。除非司马懿可以侦察到城内的真实情况，否则入城才是错误的选择。我们读者多亏了罗贯中的帮助，对城内城外的情况都明察秋毫，对我们来说，“城内有伏兵”的概率为0，因此我们才会觉得司马懿退兵是下策。
　　现在回到原来的问题上，假如选手选择了１号而主持人打开了３号，让我们从选手的角度替他做一番分析吧。毫无疑问的是奖品不在１号就在２号，也就是说，这两种情况都“有可能”导致“当前局面”。然而，这两种情况导致“当前局面”的可能性是不一样的。如果奖品在２号，那么主持人别无选择，只能打开３号（前面已经说过主持人不打开选手选中的和有奖品的），也就是说“奖品在２号”导致“当前局面”的概率是100%。再来看看奖品在１号的情况，这时主持人既可以打开２号，也可以打开３号，对于选手来说，这两种情况的概率是相同的，因此“奖品在１号”导致“当前局面”的概率是50%。请注意，打开２号还是３号对主持人不一定是等概率的，也许３是主持人的幸运数字，但是选手不知道这一些，对于选手来说，这两个概率是平分的。
　　假设这个实验做Ｎ次，其中有Ｍ次满足“选手选择１号而主持人打开３号”。当Ｎ趋于无穷大时，这Ｎ次中，奖品在１号和奖品在２号的次数应该相等，但是前者只有一半属于那“Ｍ次”中，后者则是全部计入了Ｍ中。二者的比显然等于其导致“当前局面”的概率比1:2。因此，最终的结论是：奖品在１号的概率是1/3，奖品在２号的概率是2/3。
　　以上计算的原理可以用一个很简单的例子来说明一下。假如你掷一枚色子，掷了1000次，结果全部是“六”朝上，那你肯定宁可相信色子是有问题的，因为“色子正常”导致“当前局面”的概率几乎是零。
那种认为３号的概率（1/3）被１号和２号平分的想法，其实只不过是对有利于判断的信息故意视而不见罢了。
　　还有一个很有趣的实例，看过《开心辞典》的读者可能都注意到它的一个规则——让电脑去掉一个错误答案。这与上面讨论的问题很像啊，有没有空子钻呢？没有。因为电脑有可能会去掉选手已经选中的答案，也就是说，电脑也可以打开１号（如果１号没有奖品的话）。这样，二者的概率就真的完全平分了。
    我努力将题目叙述得严密，可是还是有不小的漏洞。其实主持人的一举一动，一个眼神都有可能被细心的选手利用来帮助选择，甚至“允许他改选”这一行为就向选手透漏了某些信息，不过这要看主持人是王小丫还是李咏了。

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dlq

这个,严格说来不属于数学,属于博弈论的基础内容,貌似很容易糊涂的,想当初我看<博弈论>的时候,觉得怎么跟大科技<新人文>讲的不一样啊,然后细看了,居然要分情况讨论,我汗.
其实博弈论说简单又挺复杂的!!!

大科技_杨

初看像是很纯粹的概率问题,其实涉及到很多.