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本帖最后由 永恒的贝多芬 于 2012-2-4 15:27 编辑
无意中看到板块里有讨论这个的，刚好最近又看了本涉及这一内容的书[1] ，于是在此现学现卖一下~~
但是在对其悖论真正含义的解读上还留有争议，而且本人也没有严格研究过，所以如果有不同意见还请多多
据传芝诺曾提出过40多了悖论，他的目的是要论证“运动是不存在的”。其中流传下来的以下面四个最为著名，先简单介绍一下。
1、二分法悖论
有一段路AB，要从A到B，必须先经过AB中点C；而要从A到C，必须经过AC的中点D；一次类推。
这样的中点有无限多个，所以我们从A出发要经过无限段路才能到达B，这样我们永远不能到达B。
但这与事实矛盾，所以运动（即经过某一段路这一过程）是不存在的。
2、阿基里斯追龟悖论
阿基里斯向他前方的乌龟跑去。在他跑到乌龟最开始的位置时，乌龟已经向前爬到了A点；当他到达A时，乌龟又已向前爬到了B；以此类推，阿基里斯永远追不上乌龟。
显然阿基里斯是可以追上乌龟的，由此产生矛盾，所以运动不存在。
3、飞矢不动悖论
一个物体待在一个位置时是“不动的”。飞行的箭矢在每一个时刻都是待在某一个位置上的，所以箭矢是“不动的”。因此运动不存在。
4、运动场悖论
假设存在最小的时间单元。现在运动场上有并排的三列队伍，假设在一个时间单元内A列向左移动一位，B列向右移动一位，如下图所示：
AAAACCCCCC→CCCCCCAAAA
BBBBCCCCCC→CCCCCCAABBBB
EEEECCCCCC→CCCCCCAEEEE
那么AB就相对移动了两位，但在相同的运动情况下我们应该可以让AB只相对移动一位。A和B相对移动一位的时间t是上述情况所花时间的一半，而后者是一个时间单元。t只能是一个时间单元（因为这是可以存在的最短时间），所以时间单元的一半等于自身，但时间单元非零，故而导致矛盾，所以运动不存在。
我们现在当然一般都认为芝诺的结论是错的。但是从其论证中说明他的错误并不是我们想象中的那么显然。
前两个问题涉及无穷级数求和问题。托现代数学的福，我们从直觉上已经不会觉得一个极小但各项非零的正无穷数列的和一定是无穷的了（当然还是有可以是无穷的，比如1+1/2+1/3+1/4+……）。前两个问题涉及的无穷级数是收敛的，所以其中“永远”的说法是错的。但实际上，无穷级数收敛性这个问题，一直到很晚才被认识并透彻研究。在此之前人们都不关心这个问题，以至于如欧拉这样的数学家都一般正经地论证过“∞是介于负数和整数之间的一种极限，其性质类似于0。” [2]
而“飞矢不动”可以解释为其对“不动”的定义是错误的。箭矢在一个瞬时的位置当然是一定的，但它还有瞬时速度或加速度，并不能称为“不动”。但这样问题就归结为如何定义“瞬时速度”上了。瞬时速度，一直到微积分的基础比较严格地建立之后才由导数定义。而首先给出比较现代的导数定义的是柯西。柯西何许人也？他是19世纪上半叶的法国数学家，到现在不过才两百年。
“运动场”被认为是针对“时间原子论”的，如果时间连续，就不存在这个问题了。 [3]
[1]韩雪涛. 数学悖论与三次数学危机. 湖南科学技术出版社，2007. 文中有部分内容引自该书。
[2]欧拉的做法是：在式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)中令x=2得1+2+22+23+……=-1,；而在式1-2x+3x2-4x3+……=1/(1+x)2中令x=-1得1+2+3+4+……=∞，于是有-1=1+2+22+23+……>1+2+3+4+……=∞，因此“-1比无穷大更大”。
[3]关于量子力学中的“普朗克时间”（以及“普朗克长度”），并不是说时间（或空间）是离散的，而是指我们不可能对发生在小于这一时间（空间）间隔内的事件进行探测。
op.315
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发表于 2012-2-8 01:14
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发表于 2012-2-6 01:23
