再次挑战！0.99999999.....=1?（1很完美，我的目的就是保护1的完美）

大科技_杨

回复 30# 大科技_杨

你的无限放大论证不需要反驳，因为它根本就不是证明，只是想象。如果你不服，请将你的无限放大法好好写一下，分条写出，每一个断言都要有依据。

为了简明，我将一个严格的论述过程陈述如下，每个断言都加了序号，如果你反对哪条，只明确指出。

1、实数满足如下性质。
     （1）  若 a>0，则存在n>0使得（0.1）^n<a。
     （2）  若a-b>a-c，则b<c。
     （3）  若a>b，则a-b>0，若a-b>0，则a>b.
2.   引入以下记号 a[n]=1-(0.1)^n，a=0.99...。
      则
      (1) 对于任何一个n,a[n]<a。
      (2) a<=1。
3.   现在我要证明，不存在一个实数c，使得 { 对任意的n，都有c>=a[n]，且 c<1。
     假设它存在，则由1-(3),1-c>0
     由1-(1)，存在N，使得 (0.1)^N<1-c，由1-(2)，1-(0.1)^N > 1-(1-c) = c，
     而1-(0.1)^N=a[N] ,
     于是，这和a[N]<＝c矛盾。
4、由3知，a只能等于1.

中原

回复  中原
a=（10&#710;n-1）×（10×10&#710;n）你可以再算算看...- -
第二文明 发表于 2010-6-18 10:46

你的
a:（10&#710;n-1）×（10×10&#710;n）=(0.99999...x10^n)x(10x10^n)=(10x0.9999...)x10^nx10^n
b:10^n-1+9x10^n=(0.9999....+9)x10^n

关于你的放大，我只是在说一点。放大10^n倍是对的，不见得放大到无穷还是这样的。
比如现在有一个悖论：

他假设乌龟先爬了一段路，然后阿基里斯去追它。但是追赶者阿基里斯却永远追不上乌龟。其理由是阿基里斯在追上乌龟之前，必须首先达到乌龟的出发点，可此时乌龟又向前爬了一段路了。于是阿基里斯又必须赶上这段路，可是这时乌龟又向前爬了。由于阿基里斯和乌龟之间的距离可依次分成无数小段，因此阿基里斯虽然越追越近，但永远追不上乌龟。

这个问题的症结在于，在无限个时间分割里面，阿基里斯会追上；而这个无限到最后是收敛的（也就是后期虽然有无限段时间，但他们的和是有限的）
回到0.9999……这些事0.9+0.09+0.0009……这个东西虽然有无限个，但是她是收敛的，是一个具体的数字。虽然这并不能证明他是1（证明是1可以参考杨的证明），但我举这个例子的原因只是想告诉这么一个论题——涉及到无限的时候，很多事情并不能简单的有有限类推出来。



我到此打住，希望你最后能理解某杨……

第二文明

回复 31# 大科技_杨
有一种证伪的方法,就是1 &#8722; 0.999…根本就不存在，因为减法并不一定就是可能的。具有加法运算但没有减法运算的数学结构包括可交换半群、可交换幺半群，以及半环。里奇曼考虑了两种这类的系统，使得0.999… < 1。

首先，里奇曼把非负的“小数”定义为字面上的小数展开式。他定义了字典序和一种加法运算，注意到0.999… < 1仅仅因为在个位数0 < 1，但对于任何一个有限小数x，都有0.999… + x = 1 + x。所以“小数”的一个独特之处，是等式两边不能同减一个数；另外一个独特之处，就是没有“小数”对应着1&#8260;3。把乘法也定义了以后，“小数”便形成了一个正的、全序的、可交换的半环。

在定义乘法的过程中，里奇曼还定义了另外一种系统，他称之为“分割D”，它是小数的戴德金分割的集合。通常用这种定义便可以得出实数，但对于小数d他既允许分割（&#8722;∞， d ），又允许“主分割”（&#8722;∞， d ]。这样做的结果，就是实数与“小数”“不舒服地住在一起”。这个系统中也有0.999… < 1。在分割D中不存在正的无穷小，但存在一种“负的无穷小”──0&#8722;，它没有小数展开式。里奇曼得出结论，0.999… = 1 + 0&#8722;，而方程“0.999… + x = 1”则没有解


哎，累了！我还有许多事要做的，抱歉！

第二文明

以上的是同仁的撰写，哈哈、

PROTON

.................................好了，争论到此为止.............................
LS是找的别人的证法，内容倒是很好~~
最终结论是1=0.99999999.................
参考资料来源：
http://wiki.jxwmw.cn/index.php?doc-view-68580

仙之道

看不懂
再怎么循环也差了一点

仙之道

还有
9+x不等于10x啊

大科技_杨

回复 33# 第二文明


    你的这位“同仁”写得没问题。但他说得很清楚，它考虑的是一种“没有减法运算”的系统。显然这种系统不是实数。
   你当然可以定义0.99...是个不是实数的东西，没有任何问题。但如果你要让它是实数,又满足31轨的2（1）（2）两条性质，则它必须等于1

大科技_杨

顺便说一下，你引的这一段实际上涉及到“非标准分析”。它就是把“无穷小”看作一个数，可以与实数参与进行部分的运算，相当于把实数“扩充”了。
但是，扩充后的实数毕竟不是实数，它不具有实数的全部性质。

把无穷小看作一个数的观点在微积分诞生早期，也就是牛顿那个时代，是很流行的。但这时的微积分是不严密的，遭到多方面的批判，有人说无穷小是个幽灵，甚至引发了第二次数学危机。为了应对这次数学危机，人们建立了严格的极限理论，无穷小不再是一个数。尤其，它不再是一个实数。

后面随着抽象代数的发展（就是你提到的群、半群、域之类的东西），又有人把“无穷小“弄出来的。但这次，无穷小不是个捉摸不定的幽灵，而是个有明确定义的东西（当然它不是实数）。

大科技_杨

这种思想的一个简单的例子——增广的实数系

按照实数的定义，正负无穷是不属于实数的。但你完全可以把它加进去，定义它的运算。比如你可以这样定义：

正负无穷+或-任意实数＝正负无穷
无穷*非零实数＝无穷 （符号满足同号得正，异号得负） ，由此可以推出，正无穷的相反数为负无穷。
正负无穷加正负无穷等于正负无穷 （同号才能加）
无穷乘无穷等于无穷 （符号满足同号得正，异号得负）
并且定义有无穷参与的运算，满足交换率（但不满足结合率，否则有矛盾）
一般0*无穷、正无穷+负无穷，正无穷-正无穷  不做定义，即不能运算

再定义大小关系如下：
正无穷>任意实数>负无穷

你可以自己验证一下，看看在增广的实数系中，原来实数的哪些性质被保留了，哪些性质被打破了。
注意，你在考虑问题的时候，必须完全按照定义来，不要因为“无穷大”的字面意思而随意地给它任何附加性质。

|十匹狼|

我有个理解，x=0.9999....，假设右面有N个9，10x=9.9999999......，后面却只有N-1个9，所以10x不等于9+x

大科技_杨

回复 41# 799529580

N为多少？

|十匹狼|

回复 42# 大科技_杨


    N为无限个

大科技_杨

回复 43# 799529580


    无限减一为多少

|十匹狼|

回复 44# 大科技_杨


    N-1就是比N少了1，无限减1虽然还是无限，但是就是少了1，就像一条直线与一个平面平行，这条直线与这个平面中无限条直线平行，但却不是与这个平面中的全部直线平行，还有无限条是异面直线。

大科技_杨

回复 45# 799529580


    我不管它像什么，我就问你无限减一是多少

|十匹狼|

回复 46# 大科技_杨


    还是无限，但是它就是少了1

大科技_杨

回复 47# 799529580


    无限不等于无限么？有多少个无限？

|十匹狼|

回复 48# 大科技_杨


    虽然是无限，可是不管它是什么，少了1就是少了1啊，这是变不了的

大科技_杨

回复 49# 799529580


    未必

|十匹狼|

回复 50# 大科技_杨

应该就是这样啊，不管什么东西少了1，那不还是少了1么，不可能少了等于不少的

大科技_杨

回复 51# 799529580


    未必。无穷的特点就是，减一之后跟原来一样多。

    不管怎么说，无限小数只是实数的一种表示法，只是一个符号。大家为了能讨论数学，约定了一些符号，根据这些约定，大家知道具体的什么符号代表哪个实数，或者，更确切地说，知道一个符号所代表的实数有什么样的性质。而符号本身采取什么样的形式，给你怎样的遐想，都不能作为这个实数的性质的证据。

    不管你想用0.999...这个符号代表什么实数，有一点是确定无疑的：不存在一个同时满足以下两个条件的实数(用x表示）

    （1）对任何的自然数n，x>=1-10^(-n)
    （2） x<1

|十匹狼|

回复 52# 大科技_杨


    对任何的自然数n，x>=1-10^(-n)，没理由就说x<1啊，无限跟相等是2回事，就像0.333333循环应该不等于3分之一的，循环小数只是约等的

大科技_杨

回复 53# 799529580


    你没明白我的意思，你不是说0.99..表示一个小于 的数么？那你写下这个符号的时候，肯定希望它（以x表示）满足
    对任何的自然数n，x>=1-10^(-n)
       吧
       但我告诉你，这样的实数（也就是说，满足你的要求的实数，即你想要表示的那个实数）是不存在的。详见31轨的证明。


   另，0.33...精确地等于1/3理由与0.99...精确地等于1相同。

|十匹狼|

回复 31# 大科技_杨


    第2的（1）中，a[n]=a才对吧，a＜1

    证明有点繁琐我就不看了，a[n]是实数吧，那c就可以是一个等于它的实数啊

大科技_杨

回复 55# 799529580


    不管对哪个n，a[n]都不等于a。
    你不看我证明那还讨论个什么劲！！！

|十匹狼|

回复 56# 大科技_杨


    a[n]是实数，那c自然也可以等于这个实数啊，所以没必要看证明啊

大科技_杨

回复 57# 799529580


    我是说满足一定条件的那种实数c不存在！

    怎么没有必要看证明啊，你不看证明怎么知道那个c是干什么的，它满足什么条件？？！！

|十匹狼|

回复 31# 大科技_杨


    先慢慢来，一个一个论，你的第二点，虽然a[n]<a，但并不能得到a<=1啊。

大科技_杨

回复 59# 799529580


    我没有说a[n]<1能推出a<=1。
  
    我的意思是，你写成这个表示法，应该是期望表示一个不大于1 的数。

    你不会认为0.99...>1吧