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楼主 |
发表于 2008-4-26 21:19
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94题
http://www.lssyzx.com/kezu/mathe ... 006515103931643.doc
不知道过期没。。。
91
记X,Y,Z分别在BC,CA,AB上
固定Z的话，作Z关于AB、BC的对称点E、D，EZ交AB于G，DZ交BC于F，于是XZ=XE，YZ=YD，则X、Y必须在直线ED上才能取最小周长。
从作图知， ∠BGZ=∠BFZ=90°于是BGZF共圆，且BZ是直径。对△BGF而言，GF=BZsinB，所以BZ ⊥AC时GF才能取最小值。再从作图知，GF是 △ZDE的中位线，即ED在此时也能取得最小值。
这样来看，Z是B到AC的垂足。注意此结论的轮换性，于是X、Y、Z都是垂足了。
于是问题的解答很简单，就是作三个垂足
推广:
直角或钝角三角形:不妨设C>=90,且BC<=AC<=AB,固定Z后的周长最小值2GF=2BZsinB >=2BCsinB,也就是Z点取在C上
那么Y点跟Z点重合,X是C到BA的垂足
81 欧拉直线的证明
如果想从欧氏几何的角度证明欧拉直线，这现然是比较复杂的和蘩所的，对人的智力是一个极大挑战。单单画图就要费尽好多周折，并且还要分直角三角形，锐角三角形和钝角三形这三种情况进行讨论
因此，我们应当使用解几的方法来做
设点A(0，a)是Y轴不位于原点的任意一点，B（b，0)，C（c,0,)是X轴上不重合的任意两点，显然，由于这三点都是任意的，因此三角形ABC的形状也是任意的。
跟据重心坐标公式，容易得到重心的坐标P1（b+c/3,a/3)
因为直线AB的斜率-a/b,所以AB边上的高所在的直线方程是y=b/a(x-c)
另X=0，得到垂心的坐标）P2（0,-bc/a)
设点（X，Y）是三角形的外心，则XY满足下两个方程
(X-C)^2+y^2=x^2+(y-b)^2
(X-b)^2_y^2=x^2+(y-b)^2
解方程得，
x=b+c/2,y=bc+a^2/2a，这就是外心的坐标P3
P1P2所在直线的斜率是(a/3+bc/a)/((B+c)/3)=(a^2+3bc)/a(b+C)
P1P3所在直线的斜率是(bc+a^2/2a+bc/a)/(b+c/2=0)=(a^2+3bc)/a(b+C)
P1P2=P1P3，即这三点位于同一条直线上。 |
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楼主: 3.141592653
狗仔卡
发表于 2008-4-25 07:45
