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本帖最后由 永恒的贝多芬 于 2009-11-28 08:20 编辑
如果有人觉得直接把0.999……写成一个带n，而n取到正无穷的式子有问题的话，那么可以看一下这个证明，它很大程度上避免了将0.999……与n关联。
首先引入一个定义：如果一列闭区间{[an,bn]}满足条件
(1)[an+1,bn+1]包含于[an,bn],n=1,2,3……;
(2)lim(bn-an)=0(n→+∞)
则称这列闭区间形成一个闭区间套。
然后有这么一个定理（闭区间套定理），它是由严格证明的：如果{[an,bn]}形成一个闭区间套，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间[an,bn]，且ξ=liman(n→+∞)=limbn(n→+∞)
显然，{[1-1/2n,1+1/2n]}是一个闭区间套，而1是属于其中每一个闭区间的。
如果0.999……不在这个闭区间套所有的闭区间内，那么必然存在一个N，使得0.999……<1-1/2N，而后者是一个确定的小于1的有限小数。而显然，0.999……是大于任意一个小于1的有限小数的（因为我们可以把那个有限小数写成0.abcd……形式，小数点后面的位数是有限的）。所以，0.999……也在这个闭区间套所有的闭区间内。由闭区间套定理，这个属于所有闭区间的实数是惟一的，而1和0.999……都是满足这个条件的，所以它们只能是同一个数。
证毕。
其实开头所说的那种证明是没有问题的，有一点，0.999……直接等于极限lim1-1/10n(n→+∞)，如果没有取极限，则那个式子只是等于0.999……9(n个9)，是个有限位数的小数。
op.296 |
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楼主: tryzyy
狗仔卡
发表于 2009-11-1 17:58
发表于 2009-11-6 23:19
发表于 2009-11-18 18:11
先看看答案
