求证海伦公式

Mの3nin呵

已三角形的三边为a,b,c;令p=(a+b+c)/2  证明三角形的面积S=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c))  (sqrt为根号）

永恒的贝多芬

这个公式应该有很多证法，我这里列出一种，详见附件。










op.240

Mの3nin呵

good！谢谢！

逆转大空

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
　　S=%√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　而公式里的p为半周长：
　　p=(a+b+c)/2
　　%√表示平方根，右图sqr错误，应该为sqrt，sqr表示平方
用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
　　S=1/2*ab*sinC
　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
　　设p=(a+b+c)/2
　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Mの3nin呵

还可以用三角形内接圆的半径的性质，再结合余弦定理可证

徐隐志

这个公式就是余弦定理的反复运用，还要用到因式分解的方法

Mの3nin呵

en  ok  可以参考《几何原本》