一道很难的证明题

zheng3693

a,b,c,d都是正实数.求证(a除以b+c)+(b除以c+d)+(c除以d+a)+(d除以a+b)>2

liota

这个命题如果我没记错的话应该是
a,b,c,d是互不相等的正实数,才有这样的结论,
当这4个数相等的时候,是等于2的,
证明还得想一下

感冒的冬天

去朋友家住了几天,刚回来就那么多帖子。
当a=b=c=d时该多项式是等于2的。所以题目应该是a/(b+c)+b/(c+d)+c/(a+d)+d/(a+b)>=2或者a,b,c,d为不全相等的正实数
当然问题是什么并不是那么重要，思路是完全一样的。我证明第一个吧。
因为a,b,c,d为任意正实数，所以
求证a/(b+c)+b/(c+d)+c/(a+d)+d/(a+b)〉=2等价于d/(b+c)+a/(c+d)+b/(a+d)+c/(a+b)〉=2
等价于求证(a+d)/(b+c)+(a+b)/(c+d)+(c+b)/(a+d)+(c+d)/(a+b)〉=4
(a+d)/(b+c)+(a+b)/(c+d)+(c+b)/(a+d)+(c+d)/(a+b)>=4*[(a+d)/(b+c)*(a+b)/(c+d)*(c+b)/(a+d)*(c+d)/(a+b)]^(-4)=4
可推出令A=a/(b+c)+b/(c+d)+c/(a+d)+d/(a+b);B=d/(b+c)+a/(c+d)+b/(a+d)+c/(a+b)
A+B>=4,所以存在x>0使得A>x恒成立，同理有相同的x〉0使得B〉x恒成立。所以2x>=4,所以x=2.
即a/(b+c)+b/(c+d)+c/(a+d)+d/(a+b)〉=2,
原式得证

[ 本帖最后由 感冒的冬天 于 2008-1-30 10:50 编辑 ]

libycor

垃圾的高中题目

zheng3693

你是不是用到排序不等式来解的?

感冒的冬天

只用了均值不等式，发现论坛里很多人都从来没有认真看回帖。用排序不等式证明当然会很容易，不过我不怎么用，算是对个人的要求。看不惯在高中数学里经常用排序的人（竞赛除外），他们甚至连排序不等式的证明都不会。

名城香帅

呵呵，这个题题目要求就是用排序不等式证明，各个论坛上都在流传，百度里搜索到的用排序不等式证法就是教参上的方法，是错误的．你用算术平均不等式，一分都没有．这个题用排序不等式证明还是有一点麻烦的．这个题目我给出了包括排序不等式在内的四种证法
有时间整理一下发表出来
这个题目是在苏教版选修４－５不等式选讲３４页第１０题
原题：用排序不等式证明：设a,b,c,d为正数，则a/(b+c)+b/(c+d)+c/(a+d)+d/(a+b)>=2
教参上给的答案是错的

[ 本帖最后由 名城香帅 于 2008-3-25 16:31 编辑 ]

中微子

楼上的就在这里发表一下吧
排序不等式是什么东西都忘了，反正现在对我来说已经没有证不出来的不等式了

zheng3693

我不相信你什么不等式都证得出，我有几道题快把我证疯了。
   下次给你几道不等式证证，看你证不证得出来
（你读大几了？）

中微子

用拉格朗日乘子法就没有不能做的代数不等式
上大学以后就不玩代数不等式了

421906947

设a>=b>=c>=d,则a+b>=b+c
1/a+b<=1/b+c
a/(b+c)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)
同理得：
b/(d+c)+c/(d+a)>=b/(d+a)+c/(d+c)
相加得：
a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)+b/(d+a)+c/(d+c)>=2
故a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=2

难怪有人议你~还看出来你题目问的有问题？
应该这样~[a/(b+c)]+[b/(c+d)]+[c/(d+a)]+[d/(a+b)]>等于2
小孩误导人哦~~~~~~~~~

名城香帅

原帖由 421906947 于 2008-4-1 12:15 发表
设a>=b>=c>=d,则a+b>=b+c
1/a+b=a/(b+a)+d/(b+c)
同理得：
b/(d+c)+c/(d+a)>=b/(d+a)+c/(d+c)
相加得：
a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)+b/(d+a)+c/(d+c)>=2
故a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+ ...

晕，楼主你也真能copy，这个是百度上的错误答案
百度知道里面的原提问和解答如下：
＂百度知道 > 理工学科
添加到搜藏已解决
  用排序不等式证明（高三）
悬赏分：50 - 解决时间：2007-8-21 18:48
设a,b,c,d,为正数，证明
(a/b+c)+(b/c+d)+(c/d+a)+(d/a+b)>等于2
提问者： 雪花花瓣 - 初入江湖 二级 最佳答案
设a>=b>=c>=d,则a+b>=b+c
1/a+b<=1/b+c
a/(b+c)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)
同理得：
b/(d+c)+c/(d+a)>=b/(d+a)+c/(d+c)
相加得：
a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=a/(b+a)+d/(b+c)+b/(d+a)+c/(d+c)>=2
故a/(b+c)+b/(d+c)+c/(d+a)+d/(b+a)>=2

晴L：难怪没人答你~还看出来你题目问的有问题？
应该这样~[a/(b+c)]+[b/(c+d)]+[c/(d+a)]+[d/(a+b)]>等于2
小孩误导人哦~~~~~~~~~
回答者：starfruits - 见习魔法师 二级 8-15 22:06＂
你连一个字都没有改啊！特别这句评价难怪没人答你~还看出来你题目问的有问题？
应该这样~[a/(b+c)]+[b/(c+d)]+[c/(d+a)]+[d/(a+b)]>等于2
小孩误导人哦~~~~~~~~~
牛人，这样来发贴太不厚道了吧强烈鄙视

[ 本帖最后由 名城香帅 于 2008-4-4 11:01 编辑 ]

zheng3693

我赞同！很赞同！

小艾

这题用排序不等式到底怎么证啊，关注中，反正我证了很久也没有答案，给的教学参考上的答案是错的