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关于绳子的自然形状

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发表于 2007-12-8 23:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
首先,我先详细的陈述一下这个问题

就是说,一条无限柔软且不记厚度的绳子,抓住两端,中间自然下垂呈一条弧线,这条弧线的形状将是怎么样的(轨迹方程),

经过我的深思与实践观察后,猜想可能为抛物线方程或者是y=a*cosh(kx)型的方程,

后来去问老师,老师说他不知道,他也没办法证明.........

由于可能会用到数学分析的知识,我才高一,只能看懂和做一些简单的运算,对于证明论题来说能力有限,所以请个位各抒己见,并且最好可以给一严谨的证明.....

[ 本帖最后由 liota 于 2007-12-11 12:58 编辑 ]
发表于 2007-12-9 11:37 | 显示全部楼层
条件是绳长和固定两点的水平距离(目前我只知道两端点在一条水平线上的情况)
我做过个和这个差不多的题,不过说的是铁链
你可以考虑分析半条绳(从最低点分开)的固定点和最低点的受力情况
注意最低点受另半条绳的拉力方向水平
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发表于 2007-12-9 11:41 | 显示全部楼层
这个你等几天,我最近如果算不出来去问问工力或者物理老师
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 楼主| 发表于 2007-12-9 13:13 | 显示全部楼层
好好好!!!:loveliness: :loveliness: :loveliness:
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发表于 2007-12-9 20:07 | 显示全部楼层
是摆线
用泛函分析和偏微分方程都可以做
泛函方便一些:假设绳子两个固定端的横坐标分别是a,b,纵坐标为y0,重力势场U=gy,设稳定时绳子的形状为y=y(x),则稳定时绳子的重力势能应取极小值,即积分(上下限为b,a)
∫gy[1+(y')^2]^0.5dx极小
令f(x,y,y')=gy[1+(y')^2]^0.5,用泛函条件df/dy=d/dx*(df/dy')可解得y-y0=Ccosh[(x-a)/C],其中C为常数,可以利用y=y0时x=b解出C,具体运算从略
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发表于 2007-12-9 21:58 | 显示全部楼层
是悬链线吧,悬链线似乎和摆线不一样.不过方程没错,是y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)
摆线是最速下降线.
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 楼主| 发表于 2007-12-9 23:08 | 显示全部楼层
哇,太强大了..生活中的一个普通现象的解析居然这么复杂,居然要用到泛函分析,可惜小弟我还没学到..[中微子]的回答,从"令f(x,y,y')=gy[1+(y')^2]^0.5"以后完全看不懂,,,,,

不过我在看数学分析里面曲线讲曲率半径的时候看到了"悬链线"这个词,函数型是COSH型的..

生活真强大!
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 楼主| 发表于 2007-12-9 23:10 | 显示全部楼层
如果不嫌麻烦的话,能不能用偏微分方程做一下,,,或许我可以看懂,,,,
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发表于 2007-12-10 12:01 | 显示全部楼层
现在先讨论最低点右侧的情形,设最低点向左的拉力为K,右悬点受到的拉力为T,θ为T和水平方向的夹角,绳子的质量为M,则
Tsinθ=Mg/2
Tcosθ=K
设右侧绳长为S,P为密度,并假设横截面积为1.
对于绳上任意点有
tanθ=dy/dx=ps/k
ds=[1+(dy/dx)^2]^(1/2)*dx,  s=∫[1+(dy/dx)^2]^(1/2)*dx;
dy/dx=p∫[1+(dy/dx)^2]^(1/2)*dx/K
设A=dy/dx, dA/dx=p(1+A^2)^(1/2)/K
∫dA*[1/(1+A^2)^(1/2)]=∫p/K*dx
ln[A+(1+A^2)^(1/2)]=px/K+c
取c=0
1+A^2=e^(2px/K)-2Ae^(px/K)+A^2
dy/dx=[e^(px/K)-e^(-px/K)]/2
y=K/(2ρ)*[e^(px/K)+e^(-px/K)]
令a=p/K
y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)
打在电脑上好难打,我自己看着都乱,不知道有没有打错,大概就是这样把,我的word编辑公式的功能没安
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 楼主| 发表于 2007-12-10 14:17 | 显示全部楼层
~Good job!
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发表于 2007-12-10 21:12 | 显示全部楼层
恩~我就不用工作了
(问了一下微积分老师,他说比较繁琐,我有些东西没学好。。。)
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 楼主| 发表于 2007-12-11 12:57 | 显示全部楼层
~~同样感谢 中原。
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发表于 2007-12-11 13:24 | 显示全部楼层
兄弟们好强```
大家都读几年纪吖`
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发表于 2007-12-11 14:42 | 显示全部楼层
原帖由 感冒的冬天 于 2007-12-9 21:58 发表
是悬链线吧,悬链线似乎和摆线不一样.不过方程没错,是y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)
摆线是最速下降线.

对的,我口误
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 楼主| 发表于 2007-12-11 17:51 | 显示全部楼层
我高一:P :P :P
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发表于 2007-12-11 21:51 | 显示全部楼层
我大一,中微子也是吧.暑假里一起解决了不少群里的问题.中微子已经看到泛函分析了吗?我还在看数学分析.虽然很想马上就看更高深的东西,不过还是每一步都走得坚实最重要,数分里有相当多有趣的东西.那个泛函的方法我好像在数学建模的教程里看到过.

[ 本帖最后由 感冒的冬天 于 2007-12-12 12:37 编辑 ]
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发表于 2007-12-13 08:32 | 显示全部楼层
我也大一``
为何差距这么大```
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发表于 2007-12-13 17:22 | 显示全部楼层
谁有那些关于高等数学的书呢?
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发表于 2007-12-13 19:08 | 显示全部楼层
我有,是要电子书吗?pdf格式的.不过主要是数分,高数都是垃圾书,什么也学不到.

[ 本帖最后由 感冒的冬天 于 2007-12-13 19:13 编辑 ]
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发表于 2007-12-14 12:07 | 显示全部楼层
可以呀,谢谢你,感冒的冬天.
怎么联系?
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发表于 2007-12-14 19:33 | 显示全部楼层
加我Q,我发给你.QQ我资料里也有写啊

[ 本帖最后由 感冒的冬天 于 2008-8-24 20:54 编辑 ]
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发表于 2008-1-4 17:12 | 显示全部楼层
生活的很多问题都值得我们去思考去发现
或许只是很简单的
但是最难得的就是你能不能去思考
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发表于 2008-3-2 13:15 | 显示全部楼层
高一就那么难啊 ,,
   我全看不懂啊 .
    我初三
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发表于 2008-5-1 01:34 | 显示全部楼层
中国难度和外国果然沒法比.....我高2,才学到微分.....特点是繁琐!
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发表于 2008-5-1 03:26 | 显示全部楼层
绳子,是拉不直的。假设拉直了,可是动力,无力距。。所以重力向下拉,平衡时,必有力距。。。。。。。可以进行局部受力与整体受力分析,进行计算
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发表于 2009-1-19 14:47 | 显示全部楼层
那可不就是抛物线吗
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发表于 2009-1-22 04:21 | 显示全部楼层
我们大学高数书上证过好象。就是一个SH或者CH吧!
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发表于 2009-3-21 22:54 | 显示全部楼层
都是强人啊!!!!!!!!!!!!!1
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发表于 2009-3-28 16:56 | 显示全部楼层
高一数学考20分的人飘过~~~~~
看不懂啊看不懂
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