数学问题中的哲学原理

大科技_杨

声明：我没有正式学过逻辑学，本文来源于我的思考及平日与别人的交流讨论，其中如有对逻辑学概念中运用不当的情况，欢迎指正。

      另，排版我实在就只能排成这样了，觉得不方便的可以下载word版。

数学是这样一门学科，在这门学科中，人们永远不知道所谈论的是什么，也永远不知道得出的结论是否正确。

---- 罗素

      

这是真的。

这当然要从数学的重要方法——公理化说起。初中学几何的时候，老师告诉我们，公理是一些无法证明的定理，因为它们很“显然”，大家都认为它正确，毫无争议，不证自明。其实这种说法并不恰当。

数学和理论物理都采用公理化方法，两者的主要不同，除了数学在建立定理时推理要求绝对严格之外，还在于：物理中的公理是对实验现象的总结，尽管高度抽象概括，但它正确与否依赖于与实验观测相符与否；数学的公理本质上一些假设，它们即使于直观不一致，仍具有意义。

举个例子吧，牛顿的经典力学可算是物理学中运用公理化方法的典范。如果把牛顿三定律看作不证自明的公理，动能、动量、角动量等守恒定律都可以用从这些公理推导出来。然而，如果牛顿三定律被证明与实验不符，那么这整个系统就是错误的，没有意义的。（这里需要指出的一点是，牛顿第二定律：力＝质量*加速度  其实可以不看公理而看作是力的定义）

欧式几何是数学中最早运用公理化方法的典范，虽然它的第五公设看起来与事实非常相符，然而还是屡遭数学家的质疑。既然第五公设无法由前四条推出，那么将第五公设否定，肯定能建立另一套几何学——非欧几何。非欧几何就这样在与“事实”相悖的情况下建立起来了。虽然后来物理学的研究指出，我们所处的空间确实不像欧式几何描述地那样平直，而应该用非欧几何来描述。这下子，欧式几何成了不符合“事实”的理论了。但这只是为非欧几何找到了应用的空间，并不能增加非欧几何的“正确性”，也丝毫无损于传统的欧式几何。

世上的真理可以分为两种：一种是经验真理，它的正确性依赖于经验事实，比如“纽约在美国”；另一种是逻辑真理，它只关乎逻辑，比如“若凡人皆死则张三必死”。数学上的真理只是后者。

数学关注的只是形式上的正确性，如果“若凡人皆死则张三必死”这句话中“人”换成任何一种事物，把“死”换成这类事物的任何一种行为，把“张三”换成这类事物中的一个个体。这句话仍然成立。事实上，如果想要不涉及任何经验，那我们永远不知道“人”具体指什么东西。你可以用别的概念来定义“人”，比如用“智慧的动物”，但这个定义又涉及到“智慧”和“动物”两个词。这样下去，总有一些概念是没有定义的，它们可以是任何的东西，它们是什么并不重要。

对于这些原始概念之间的关系，也有类似的情况。比如想研究人与人之间的“友谊”，我们可以对这个词进行定义：“朋友间的交情”，这句话里又包含各种没有定义的词。总有一些词是没有定义的，它们的真正含义也不重要。

比如在射影几何中，我们在平面上加一条无穷远直线，由无穷远点组成。两条普通的平行直线交于无穷远直线上唯一的一个无穷远点。然后我们把无穷远点和无穷远直线“平民化”，把它们和普通的点、直线不作区分，统称为点、直线。这样一来，任意两不同的直线交于唯一一点，任意两不同的点确定一条直线。我们再把点在直线上和直线过某点（其实是一回事）一并称作点与直线“结合”。

且不要问我所构造的这一套无穷远元素是什么东西，我们先看看得到了什么东西：

两个原始概念：点、线；

一个原始关系：结合；

两条公理：两点确定一线，两线确定一点。

       我们已经得到了一个公理系统，其中的“点”和“线”是什么并不重要。它们可以是任何东西。比如，固定三维空间中一点，记为O。过O点的所有直线翻译为我们的“点”，过O点的所有平面翻译为我们的“线”，“结合”一词翻译成“直线在面上”，这样的翻译满足我们系统的要求，也就是说，我们给系统找到了一个“模型”。系统中推导出的所有命题都可以应用在这个模型上。选取一个模型可以使我们的公理体系更加直观，体系本身不依赖模型的选取。

   

       要建立一套理论，我们在决定选取哪些命题作为公理的时候，有比较大的自由度。比如在建立实数理论的时候，我们可以直接给出描述实数性质的若干公理，也可以给出描述自然数的公理（Peano公理），然后再用自然数来定义实数。

      这使得数学看起来像是一个纯粹的逻辑游戏。然而历史上微积分的发明，完全不是这样。牛顿和莱布尼茨创立微积分的时候，微积分极不严格，与一个简洁漂亮的公理化的系统相去甚远，人们攻击微积分中的“无穷小量”dx是一个幽灵。就是在这样基础上发展出了很复杂的微分方程等理论，解决了大量的问题。在这之后，在严格的实数理论的基础上，微积分才严格化。严格化固然是微积分进一步发展所必须的，但谁也不能否认在此之前的数学家和物理学家的功绩。

       逻辑之于数学，就好像数学之于物理。即使我们有一部强大的逻辑机器，人们随意给它输入几个“原始概念”，几条公理，它就可以吐出无数的定理，也不能说这部机器懂得数学，因为它并不知道哪个命题有用（当然这里的“有用”含义非常广，不仅指解决实际问题）。一个数学理论，不是在公理的基础上盲目地用逻辑来推导，花大量的时间探索出一小块圆圆的区域，而是沿着一条路走，边发现定理，边做新的定义，最终走得很远。

逻辑自然不能违背，但逻辑只是探索的手杖，知道什么是好的数学，知道向哪个方向探索，才是真正的数学思想。

zheng3693

数学是这样一门学科，在这门学科中，人们永远不知道所谈论的是什么，也永远不知道得出的结论是否正确。
———— 罗素
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如果要这样说的话，那首先应该定义什么是“正确”，定义“正确”的概念，然后才知道什么是正确的，什么不是正确的。

而通常，人们都认为符合事实的，那就是正确的。这里说的“事实”并不是人们认为的“经验”。
而通常认为的“公理”，都是人们根据经验来定义的。至于这“公理”是不是“事实”，我们并不知道，所以谁又知道，它是不是正确的呢?

大科技_杨

不甘心，自顶一下

赫兹Hz

大家都说数学和以物理为代表的科学，都是建立在公理化体系之上，应用形式逻辑法则发展起来的。公理化体系是不完备的，它的基础是一些“不证自明”的公理，“不证自明”也就无法证明，正是问题所在。就像耗费了n多天才的第五公设的证明，最终发展出了非欧几何。关于公理化体系的讨论在哥德尔那里就终结了吧。那傲视天下的哥德尔定理：一、如果一个形式理论足以容纳数论并且无矛盾，则它必定是不完备的。二、任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性。