惹麻烦的平行公理

中原

惹麻烦的平行公理

朱帆远/文

让人怀疑的第5公理

欧几里得是古希腊有名的数学家，他在其名著《几何原本》一书中，列出了五个公理：

一、两点间必可联一条直线；

二、直线可以任意延长；

三、已知圆心及半径可作一圆；

四、凡直角皆相等；

五、如图一，两直线 AB、CD
被另一直线截于 E、F，若∠AEF+∠CFE＜180°，则两直线在 、 的方向相交。

图一

然后，欧几里得从5个公理出发，一共推出了465个定理，使《几何原本》成为整理数学的范本。5个公理在很长时间里都被看做是几何学的基石，很少有人怀疑公理的正确性，除了第5个公理。

第5个公理也被称为“平行公理”，它不像前四个公理那么简单明了，那么为大家所公认。所以从《几何原本》问世开始，数学家就对这个平行公理产生了怀疑。大家猜测，也许平行公理只能算个定理，能从另外四个公理中推导出来，或者用另外更加简明的公理来代替。

欧几里得本人也对平行公理有此疑问，所以他在导出各种定理的过程中，能不用平行公理就尽量不用，一直拖到证明第29个定理时，才不得已用上平行公理。

平行公理通常用这样的等价形式表达:过直线外一点有唯一的一条直线与其平行。所谓平行就是“永”不相交的意思，不论直线如何延伸，两条直线不会相交在一点。但是这个表达里涉及到了“无限”的意思，直线无限延伸，这个实在是难以亲身体验，因此欧几里得不采取这种形式的平行公理，也许是要使平行公理显得更简明、更没漏洞吧。

公元5世纪，希腊数学家普罗克鲁斯在评论《几何原本》时，对平行的概念提出了质疑。他提出，平行公理中的那两条直线并不一定是平行的，也可能会像两条相互接近却永不相交的双曲线，虽然越往远处去，两条线距离越近，但就是没有公共点。这样，平行公理就被推翻了。不过，这个数学家依然坚持认为，平行公理其实是个定理，他对此进行了证明。

普罗克鲁斯假定，两条相交的直线间，从一条直线上的一点到另一条直线的距离，会随着该点与交点相远离，而无限增大；而两条固定平行线之间的距离不能任意增大。利用这些假定，普罗克鲁斯推导出了平行公理。实际上，他不过是用自己的假定代替了平行公理而已，由于他本身的证明中也含有假定的成分，因此他的替代定理是否比平行公理更正确，就不好说了。

两千多年来，不断有人想通过“证明”平行公理，来达到推翻该公理的目的。但是这些人都犯了和普罗克鲁斯类似的错误，即用一些假定来代替了平行公理，其实并不比平行公理更加正确。

证明公理遭遇“冰山”

意大利数学家萨凯里（1667-1733年）也想证明平行公理。在图二中他假设 AD=BC，∠A=∠B=直角。由全等形的定理可以马上导出∠C=∠D。

接下来，萨凯里根据这两个等角的大小考虑了下列三种可能：第一，∠C=∠D =直角；第二，∠C=∠D=钝角；第三，∠C=∠D=锐角。他想用反证法，说明如果两个角等于钝角或锐角，就会出现矛盾的结果，因此只有假定两个角等于直角是对的，而这个结果正好和平行公理的描述是等价的。

图二

假如∠C=∠D=钝角，就相当于“过直线外一点没有任何直线与之平行”，而假如∠C=∠D=锐角，相当于“过直线外一点可以引无穷条平行线”。钝角假定可以轻易地被排除，萨凯里做了如下推导：

《几何原本》第一卷第16定理说：三角形的外角大于不相邻的任何一个内角。欧几里得的证明是这样的：在图三中，取 AC
的中点 D，联 BD，延长一倍至 E，联 CE。则由全等形可知∠A=∠DCE＜∠ACF。这个证明是正确的，但是其中暗含了一个假定，直线的长度是无限的。因为如果这里的直线其实是一条球面上的直线（大圆弧），是有限长度的，E点有可能会绕过球面，回到 BD
线段上，此前的证明过程就不成立了。

图三

利用第16定理，《几何原本》中证明了第27定理：过直线外一点必可引一条平行线。如图四，设 E
为直线CD外一点，取CD上任一点F，作∠AEF=∠DFE。若 与 相交于G点，则得三角形GEF的外角∠DFE和不相邻的内角∠AEF相等，这和第16定理产生矛盾。同理 和 也不能相交。因此 AE
和 CD
必然平行。

过直线外一点有一条平行线，所以钝角假定不成立(在直线无限长的条件下)。

图四

为了排除锐角假定，萨凯里从锐角假定出发，导出许多欧几里得几何中没见过的、稀奇古怪的定理。这些定理根据日常经验看，实在是匪夷所思，于是萨凯里宣布，锐角假定也是不成立的，平行公理得到证明！

其实，萨凯里丧失了一个让自己名垂青史的机会。如果他仔细研究他推导出的那些古怪的定理，就会发现它们虽然奇怪，但在数学上完全成立，是千真万确的定理──双曲非欧几何中的定理，那些定理适用于与欧氏几何完全不同的崭新的几何学中。由于他没有摆脱欧氏几何即真理的思想束缚，因此没有想到要推翻当时的几何学，去开创非欧几何学。

崭新的几何学

萨凯里之后的许多数学家也从平行公理出发，与非欧几何的“冰山一角”相遇了。德国数学家施魏卡特在1816年得到结论说，除欧氏几何外，应该还有一种几何，其基本假定就是三角形的内角和不等于180°。这种几何在平行公理上与传统的欧氏几何不一样，是一种崭新的几何学。

就这样，数学家们从让人烦恼的平行公理出发，最终发现，几何学不过是描述物理空间的一种工具，而不代表物理空间本身。以平行公理为基础的欧氏几何可以描述物理空间，而否定了平行公理的非欧几何也一样可以描述物理空间。对平行公理是否为公理的探索，最终使数学家对几何学有了更深的认识，而非欧几何也促进了物理学的大发展。

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zhdw

看不到图片啊

PROTON

这或许是为什么欧几里得在《几何原本》中很少用平行公理的原因吧........