庞加莱的世纪猜想

中原

2006年数学界最轰动的事件是庞加莱猜想被最终证明，这个比哥德巴赫猜想更重大的猜想在百年之前就已提出，却长期无法被证明。按照数学界的惯例，从宣布被证明到证明方法被检验成立，要经历1年甚至更长时间。如今，检验已经通过，让我们回眸庞加莱猜想的百年风云，了解一下庞加莱猜想是什么，它又是怎么被证明的。

庞加莱的世纪猜想

博愈/文

天下橡皮糖是一家
数学家眼中的世界往往充满了古怪的数字和图形。比如几何学中有一个分支，叫做拓扑学，就是将能像橡皮糖一样变形得到的东西，都视为一样。一块橡皮糖拿在手中，对它拉长、缩短、弯曲、拧麻花，甚至从数学角度把它放大和缩小，只要不拉断它，不粘合它，不在它上面戳个窟窿，所有变换出的形状拓扑学都认为是一样的，对它的一切蹂躏都没有价值。拓扑学研究者不关心物体的大小和形状，而是关注于曲线和曲面的连续性。
在拓扑学中，蹂躏之后的橡皮糖和原来的橡皮糖具有同样的拓扑性质，芋头、土豆、红薯等可以看做没有区别，铅球和砖块也可以完全相同，因为它们的图形都可以通过橡皮糖那样的伸缩变形，变成对方的样子，它们表面上曲线、曲面的连续性并没有被破坏。
根据连续性，拓扑学家对世界上的物体进行了独特的几何学分类，所有的橡皮糖都是一家人，而戳了一个洞的橡皮糖是另一家的。因为当把橡皮糖戳出一个洞时，我们就破坏了原来表面上的连续性，它就具有了不同的拓扑性质。同理，如果我们把橡皮糖拉长，将两头粘合起来，曲面的连续性发生变化，橡皮糖的拓扑性质就改变了。所有二维的曲面（一个皮球的表面就是二维曲面）都可以通过变形，形成如下的几种：

				……
球	轮胎（一个洞）	两个洞	三个洞

也就是说，二维曲面可以用它含有几个洞来描述和分类，中间没有洞的是一类，中间有一个洞的是另一类。这就是拓扑学的一种几何分类方式。
我们处在三维空间中，所以可以很清楚地看出一个二维曲面的拓扑形态。请假想一下，有一种生活在二维曲面上的蚂蚁，它不能飞出曲面之外，只能在曲面上来回。它能否知道自己的曲面是哪一种拓扑形态呢？
答案是肯定的。比如，一个二维的圆球面不断向内收缩，就会缩成一个点；而其他有洞的二维曲面，从拓扑结构上看，它们收缩之后是环，而不是点。这样，蚂蚁至少能知道，自己是生活在球面上，还是生活在有窟窿的曲面上。

封闭的路径都 可以缩成一点	这一圈永远没 办法缩成一点

拓扑学家在面对所生活的宇宙时，“身在曹营心在汉”，也想知道自己这个三维空间的拓扑结构。然而，我们无法跳出自己所在的这个世界，从外面去看它长什么样子。那我们是否能像二维曲面上的蚂蚁一样，从所在的这个世界中，推测我们所处的空间的模样呢？

庞加莱猜想
1904年，法国著名数学家昂利•庞加莱提出了一个猜想：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面”，这个数学命题通俗地说就是，任何一个封闭的、连通的、没有洞的三维空间中，如果它上面的每一条封闭曲线都可以缩成一个点，则这个三维空间从拓扑形态上和一个三维的球体是相同的。这就是著名的庞加莱猜想。
这个猜想具有很重大的意义。目前科学家通过对宇宙的物质密度的估计，可以推导出不同的宇宙形状。如果宇宙的密度大，物质之间的引力使宇宙成为封闭的，时空弯曲为球状；如果宇宙的密度适中，物质间引力小，宇宙的形状就是平坦的；如果宇宙的密度很小，宇宙可能是马鞍形的。他们的理论依据之一就来自拓扑学推导。如果宇宙是所谓的“单连通的三维闭流形”，那么从拓扑学的角度看，所有这些宇宙形状都是等价的。宇宙大爆炸理论中，关于宇宙从奇点开始的假设是否成立，也和空间拓扑结构有关。因此，庞加莱的这个猜想虽然是数学问题，但是却直接针对宇宙的拓扑形态进行描述，这个猜想能否证明，会影响到人们对宇宙形状的认识。
而且，这个猜想对于科学家描述微观粒子的运动，例如超弦理论中开弦（振动时等同于球面）和闭弦（振动时等同于环面），以及研究化学、生物分子的立体结构等都有重大的理论影响。这个数学猜想既与宏大的宇宙有关，也与我们的生活有联系。
庞加莱具有敏锐的数学洞察力，但是他却没有想到，这个猜想的证明竟然如此艰难。第一个在庞加莱猜想的证明上栽跟头的人正是庞加莱自己。在提出这个猜想之前，他以为自己已经证明了一个与此相关的更普遍的定理。但是后来他发现推翻“定理”的反例，于是修改了自己的数学叙述，把“定理”变成了众所周知的庞加莱猜想，而他终其一生，也没有能够证明庞加莱猜想。


百年证明之路

世纪7大猜想 　　2000年5月，美国著名的克莱数学研究所在还未解决的数学难题中选出了七个最重大的，称为“七大世纪数学难题”，并为每道题悬赏百万美元求解。这些题目包括庞加莱猜想、黎曼假设、霍奇猜想、杨-米尔理论、P与NP问题、波奇和斯温纳顿-戴雅猜想以及纳威厄-斯托克斯方程。 在华裔著名数学家丘成桐看来，庞加莱猜想和黎曼假设是其中两个最大的猜想，庞加莱猜想的解决已经“封顶”，而很多人攻关的黎曼假设还没有看到破解的希望；霍奇猜想引起许多数学家的兴趣，但是研究进展不大；纳威厄-斯托克斯方程与流体相关，离解决还相差很远；P与NP问题没有进展；杨-米尔理论太难，世界上几乎还没人研究。波奇和斯温纳顿-戴雅猜想和数论有关，是目前最有希望破解的一个难题。

让问题“一般化”是数学家研究问题时常用的方法，因此一些数学家尝试着探讨一般维度的庞加莱猜想，希望能一举解决这个难题。普通人可能会以为，模型的维度越高，问题解决起来会更困难，其实在数学王国里，这个想法并不正确。有时，从高维度思考问题，数学家的“自由度”越大，证明更容易。对庞加莱猜想的百年证明历程，是从证明它在高维度正确开始的。
1956年和1962年，分别有一位数学家对庞加莱猜想在5维以上的情况作出了阐述，并于获得了数学界的最高荣誉——菲尔茨奖。但是，这两个人的证明方法无法推广到低维度，也就是说，他们并没有解决庞加莱最初提出的有关三维的猜想。
四维的庞加莱猜想证明要等到20年后了。1982年，一位美国数学家对四维的拓扑空间进行了分类研究，并结合一位英国数学家的成果，证明了普通的四维空间中庞加莱猜想是正确的。这个结果向最终证明庞加莱猜想又跨出了一步，两位数学家获得了1986年度的菲尔茨奖。
对庞加莱猜想的部分证明，就足以让一位数学家获得数学界的最高荣誉，可见庞加莱猜想的重要性。我国科学家陈景润由于部分证明了哥德巴赫猜想而举世闻名，也让许多中国人都知道数学世界里有个哥德巴赫猜想。其实，哥德巴赫猜想虽然提出更早，至今也没有被完全证明，，但是在数学家眼中，庞加莱猜想比哥德巴赫猜想更重要一些，因为前者是拓扑几何学最重要的基础理论探讨，而后者只是数论中的一个分支。
庞加莱猜想的证明还剩最后也是最关键的一步——三维空间中的证明，谁来最后攻克这个百年数学“堡垒”？

怪人解怪题
随着一步步接近猜想的最后证明，数学家越来越相信，庞加莱的这个猜想是正确的。一些数学家不再理会高维情况下的证明手段，而是首先假设庞加莱猜想在三维情况下正确，直接寻找证明猜想的新方法。20世纪90年代，美国数学家汉密尔顿提出了解决庞加莱猜想的新方法，让有志于此的数学家看到了最终证明的曙光。
2002年11月，一个叫佩雷尔曼的人在某数学网站上贴出了一篇文章，文章中提出了一些开创性的想法，解决了汉密尔顿在证明庞加莱猜想时遇到的困难。经常光顾该网站的数学家和数学爱好者们吃惊地发现，如果这个人文章中的证明过程是正确的，就将顺利完成由汉密尔顿开端的证明之路。
这个消息不但震撼了从事庞加莱猜想研究的数学家，甚至震动了整个数学界。因为，没有人知道这个佩雷尔曼也在研究和庞加莱猜想有关的领域，他在网站中给出的证明写得过于简洁了，只有39页，这对于证明一个重大数学问题而言，实在是太简略了。他认为已经很明白的地方，他只是将重要的步骤和结果写出来，也许在他看来一目了然，但由于没有和其他人沟通，所以数学家们一时之间还难以理解他的文章。
这个佩雷尔曼何许人也？
此前，佩雷尔曼并不是一个特别引人注目的人。1966年他生于俄罗斯圣彼得堡一个犹太家庭。少年时代，他就表现出数学方面的天分。16岁那年他以满分捧得国际数学奥林匹克竞赛金奖，这也是他迄今接受的唯一奖项。后来佩雷尔曼在圣彼得堡获得博士学位，并一直在俄罗斯科学院圣彼得堡的数学研究所工作。佩雷尔曼被同行认为是微分几何领域的专家，在1996年，欧洲数学学会决定颁发给他杰出青年数学家奖，但他竟然拒绝接受，理由是他认为评审没有资格评断他的成就。之后，佩雷尔曼这个数学怪杰就从数学界消失了。大家失去了他的消息，他好像躲在某个安静的地方，进行闭关修炼。
直到2002年，他的那篇文章突然出现在网络上，人们才又重新回忆起这个人。数学家们强烈要求佩雷尔曼对他的文章能给出更详细的描述，于是2003年3月，他在网络上又张贴了另一篇22页的文章，以证明上一篇中被省略以及技术性很强的部分，但这依然不能解决众人的困惑。2003年4月，他应邀到美国各知名大学演讲访问一个月，在演讲中帕瑞尔曼解答大家所提的一些问题。可惜，这次美国之旅，他并没有见到同行汉密尔顿。同年7月，佩雷尔曼在网络上张贴了最后一篇补充文章，只有短短的7页。然后，他拒绝再对自己的证明提供详细的解释，也不回大部分人发给他的电子邮件。数学家们猜测，佩雷尔曼也许是觉得自己已经证明了庞加莱猜想，自己的劳动已经得到了报偿，不需要在这个猜想上继续浪费时间了。
佩雷尔曼又玩起了失踪。但是数学界却不能对他的文章熟视无睹，数学家们需要详尽的证明过程。

世纪猜想变定理
有些数学家汲取帕瑞尔曼文章中的部份想法，应用到其它问题，并且得到很好的进展。然而，庞加莱猜想是否被他证明了？2003年，美国克莱数学研究所委托了两组数学家，对佩雷尔曼的文章进行检验，以确定百年猜想是否已经被攻克。克莱数学研究所曾为庞加莱猜想悬赏100万美元征解，自然会严肃地对待佩雷尔曼的文章。
2006年，证明庞加莱猜想的“封顶”工作终于完成了，5月，中国中山大学朱熹平教授和旅美数学家曹怀东教授以一篇长达300多页的论文，对佩雷尔曼的文章进行了补充，给出了庞加莱猜想的完全证明；7月，美国的一个数学组也确认，佩雷尔曼的证明过程是对的。
此时距离猜想提出，已经过去了一百多年。在一个世纪的时间里，有多少数学家为此而奉献了青春。庞加莱以他天才的直觉，提出了这个猜想；汉密尔顿投入猜想的相关研究近30年，他长期地坚持在这个领域里耕耘，甚至曾经因为发表的论文数量不够多，没能得到国家机构的资助，但他并不因此而放弃数学上的追求；佩雷尔曼对数学研究的投入及执着精神令人景仰，他的物质需求很低，生活清贫，但当他解决庞加莱猜想的那一刻，他觉得已得到馈赏及回报，并不需要其它的桂冠，他甚至拒绝了克莱数学研究所的百万美元奖金；补充“庞加莱猜想”证明的中国数学家朱熹平在转换研究领域期间，几年的时间没有论文发表，无名无利，但一直坚持做下去……
我们对世界形状的认识因这些数学家的工作而变得不同，在数学那些光怪陆离的空间结构背后，投射着科学的光辉，一个更加清晰的新世界将出现在我们眼前。

4P

科乐道

what i deserve