分球怪论

中原

分球怪论

俞叶/文

铅球变成宇宙

一个实心的铅球被切割成了几块奇形怪状的碎块，经过数学家的妙手进行旋转、移动和拼合后，竟然组成了两个与那个被分割的铅球大小完全相同的实心铅球，有这样的怪事吗？

数学家还扬言，用某种特殊的工具对这些铅球继续分割下去，就可以从一个铅球里分割出万亿个甚至无穷个与原铅球完全一样的铅球，不可能吧！难道说一个铅球就可以制造出一个宇宙？在这个宇宙中，组成物质的粒子都是铅球？

按理说，铅球被分割成两个铅球时，质量会比原来的质量小一半才对。不！数学家坚持说，分割成的两个铅球与原来的铅球不但大小一样，而且密度也一样。太不可思议了，科学家在玩什么恶作剧？

这是1924年两位数学家提出的“分球怪论”，意思是只要所谓的“选择公理”成立，就可以将一个实心球分成碎块，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的实心球。推而广之，只要有了神通广大的“选择公理”，任何符合条件的物体都可以被科学家拿来复制。许多数学家们都曾以此来炫耀数学的奇妙：“在现实世界中那么荒唐的事情，在数学世界中却出现了，多么神奇美妙！”

那么，神通广大的“选择公理”到底是什么样的公理？

选择公理

由于选择公理的数学描述有点让人望而生畏，我们只是阐述它所表达的意思：我们能够从一些堆（可以是物体组成的堆，也可以是数组成的堆）里面各选取一个元素组成一个新的堆。

“选择公理”对一般人来说，也许从来没有听说过。但这条“选择公理”却是困扰整个数学界多年的公理，对于它，哲学家和数学家罗素曾这样评论：“起先它似乎很简单；但你越思考它，由它得出的推论就好像变得愈奇怪；最后你完全不明白它的意思到底是什么了。”

这个公理的确看似很简单，例如，在我们面前放置了几堆苹果，那么，我们能够在每堆中选取一个苹果，并且能把所选的苹果组成新的一堆。这当然可以了，小孩子都知道能够从每堆苹果中选个最大的苹果，为他自己组成一堆大苹果。
但是，继续琢磨，若摆在我们面前的不是苹果堆，而是几堆自然数，例如{1，2，3，…}，{2，3，4，…}，{3，4，5，…}，…，{9，10，11，…}，又将如何？那么我们能够从这些自然数堆里无数个自然数中选一个组成新的自然数堆吗？可以，我们可以选择每堆自然数中最小的一个。
再进一步分析，假如在我们面前放置了无数堆苹果，而每堆苹果也有无数个。那么，我们能否在每堆中选取一个苹果，再把它们组成新的一堆吗？
可以！我们虽然无法在无数个苹果中选最大的或最小的，但是我们可以随便从苹果堆里拿一个放到新的堆里，也就是随机选择。但是现实中若真的是这样，我们就需要花费无数年的时间去选、去组堆，因为苹果有无限堆，即使我们从每一堆中拿出一个苹果只花费1秒钟的时间，那么从无数堆苹果中各拿出一个苹果就需要花费无数秒的时间，也就是无数年。
也许你认为这个例子不现实，但是这种例子是常见的，例如：摆在我们面前的是数轴上有无数个自然数，各个自然数之间又有无数个小数，如果以自然数为分界线，那么数轴就是由一堆堆小数构成的，例如：第一堆数是1与2之间的所有小数，第二堆数是2与3之间的所有小数，依次类推。那么摆在我们面前的就是无数堆小数，每一堆小数又有无数个。这时我们可以进行随机选择，但即使用每秒可以选择亿亿次的计算机进行随机选择，也需要无数年的时间才能完成选择！除非计算机的计算速度是无限大。
许多比较现实的数学家认为，既然这种选择永远也选不完，就意味着新的堆永远也组不成，那么就不能认为这种选择可行，选择公理在这种无限的情况下不适用，不能称为公理！但选择公理认为，上述一切情况都能够选择，虽然在有些情况中，完成选择需要无数年的时间，但是我们确实能够选择，至于选择的时间就不是数学上要考虑的问题了。

选择公理到底能否算作公理呢？

分球怪论的来历
反对选择公理的数学家总想找出选择公理的矛盾和漏洞，从而推翻选择公理。于是经过深入的分析和思考，他们提出：既然数或物体可以选择，那么方法也可以选择，对一个实心球的分割方法可以说有无限种方法，我们可以把这些无限的分割方法分成几组，然后从每一组中选择一个方法对实心球进行切割，经过几次切割把实心球分成碎块；然后再选择合适的旋转和移动，总可以把这些实心球拼成两个与原来的实心球完全一样的球。
对实心铅球的分割也许牵扯到非常奇怪的分割方法，分割的路线也许是无法描述的，需要的分割工具也许是五花八门，甚至有的工具现在还没有，分割下来的铅球碎片也许看起来细密得像一团团原子云雾，但是只要选择公理成立，我们理论上是能够从无数个分割方法中选择合适的分割路线和方法，把所选择的方法组成一套步骤，利用这套步骤能够把一个铅球分割成可以组成两个铅球的碎片。
例如，我们可以通过某些方法让铅球破碎成细密的沙子状，之后再通过某些方法把其中的奇数点与偶数点分开，然后通过移动把奇数点和偶数点分别组合成与原来的铅球完全一样的铅球。
现实中的铅球经过这种分割后，或者密度减小为原来的一半，或者体积减小为原来的一半，而这里的实心铅球经过这种分割后，分割得到的两个铅球与原来的铅球形状、体积、密度都相同，相当于经过分割凭空多出了一个铅球。
这就是分球怪论的来历，若选择公理成立，就会得出这种荒谬的怪论。原本这个怪论是数学家提出，用来反驳选择公理的，他们认为若要避免这种荒谬的怪论，唯一的可能性就是选择公理不能成立。

奇妙的数学铅球
针对这个怪论，支持选择公理的数学家认为，这个怪论并不怪，更不荒谬。这里的实心球肯定不是物理世界里现实的铅球，而是数学上理想的球。物理铅球是由大小一定的原子组成的，原子的数目也是可数的，而数学铅球则是由无大小的点组成的，点的数目是无数的。也就是说，物理球是有体积有密度的，而数学球没有固定密度也没有固定体积，我们可以认为它的密度无限大。
数学家认为数学铅球容纳的点数可以与所有偶数的个数相同，也可以与所有自然数的个数相同。这怎么可能？偶数只是自然数的一部分，偶数的个数怎么能与自然数的个数相同呢？这就像：一个班里有20个男生，20个女生，难道女生的个数“20”等于全班同学的个数“40”吗？数学家简直是疯子！
数学家则悠然地建议你让月老用红丝线把偶数和自然数从小到大一一配对拴起来，例如2与1拴起来，4与2拴起来，6与3拴起来……，你会发现它们正好能够一一配成对，直到偶数无穷大与自然数无穷大，可见偶数和自然数的个数是相同的，同样道理，奇数的个数与自然数的个数也是相同的。这就是数学中“无限”的奇妙，在无限的情况下，会出现“整体等于部分”的奇怪结论。
选择公理告诉我们，理论上我们能够选择合适的分割方法和路线，经过几次分割，分割成正好能够通过平移和旋转就可以组成两个球的碎片。例如，把自然数球中的奇数点分割出去，只剩下偶数点组成的部分，那么当把分割出去的奇数点拼成球，再把剩下的偶数点拼成球，由于不论自然数、奇数还是偶数，它们个数相同，那么自然数球就被分割成了大小和密度与原来完全相同的奇数球和偶数球。如果我们把奇数球或偶数球中的所有点重新按自然数给它们编号，那么这两个球就又都变成了自然数球。若再继续按这种方式分割组合下去，我们就可以从一个自然数球分出无数个自然数球。
这只是一种分割方式，当然还可以选择其他分割方式，只要通过有限次的分割把一个球分成一些碎片，这些碎片能够组成与原来的球完全一样的两个球就可以了。分割数学铅球的方法也许我们无法描述，但是这些方法理论上肯定存在，也许分割路线需要无限的绕转，也许一刀切下去，这一刀永远也切割不完，但是这些切割方法理论上确实存在，我们理论上也可以选择。至于能否实现，需要多长时间，那不是选择公理考虑的问题。
其实数学上有许多这种只考虑理论上存在的定理或公理。

分球怪论，不足为怪
根据上面的分析，分球怪论并没有推翻选择公理，可见选择公理真是让人无可奈何的理论，要想证明它很难，要想推翻它也是很难。
虽然对于选择公理是否是公理，数学家们还在争议，但大多数数学家已经无条件地接受它为公理了。接受了它，就可以保证很多美好且合乎“常理”的结果不会被抛弃。例如，类似分球怪论的“化圆为方”理论：平面上一个圆总是能够经过有限次的分割，把它变成面积与它相等的正方形。这个理论可是很合乎常理的，若没有选择公理，我们就没法证明一个圆能够通过有限次的分割变成正方形。
那就让选择公理在神奇的数学世界里充分展现它的神奇吧！

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aynhzwh

有点道理，有限的人去理解无限的概念确实要费点脑筋