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本帖最后由 大科技_杨 于 2010-7-21 23:29 编辑
前置知识：向量，直角坐标系
摘要：对n给欧几里德空间简单介绍
人类能感受到的空间只有三维，更高维度的空间很难想象。但是借助数学工具，我们能够很容易地描述高维空间的一些性质，跟二维三维没有什么区别。事实上，n维平直的空间（欧几里德空间）是所有进一步学习数学的人都会掌握的最基本的工具。
在二维空间中建立直角坐标，可以将每个点与一个实数对联系起来，在三维空间建立坐标，每个点与一个三元数组联系起来。类似地，我们也可以在n维空间中建立起直角坐标，这样每个点就可以用一个n元数组代表(x1,x2,...,xn)，也就是一个n维“超向量”。
在我们来看一下高维的一些几何图形是什么样的之前，我们先来看一下一些几何量怎么表示，比如长度和角度。我们选取的每条坐标轴都是垂直的，所以由勾股定理，两个点之间的距离是：
根号下（ 各坐标的差的平方和）
记一个向量x的长度为| x |
角度要复杂一点，可以想象一个三角形，既然我们已经知道了三边的长度，那么就可以用余弦定理求出角度。有一个特殊的角度我们经常用到，就是直角。两个向量(x1,...,xn)和(y1,...,yn)垂直，当且仅当
x1*y1+...+xn*yn=0
用向量的内积（点乘）来表示的话更简单一些，比如记x=(x1,...,xn),y=(y1,...,yn). 上面的式子可以写成x·y=0 （我用粗体表示向量，下同）
好了，有了这些东西，我们就可以来看看我们在低维中熟悉的几何图形在高维中长什么模样了。
直线：两点确定一条直线，如果定给了两个点x1,x2,那么两点的连线就是x1-x2, 类比一下低维的情况，我们在其中一个点的坐标上加上这个连线的倍数，很容易给出直线的参数方程
y = x1 + t ( x1 - x2 ) ，其中t为任意实数
超平面：这里要说明一下，在三维空间里，我们有1维的直线，2维的平面。在n维空间里，我们1~(n-1)维的“平面”都能找得到，其中n-1维的最简单。给定一个向量x0，我们就可以做出过向量的终点且与向量垂直的n-1维超平面。在平面上任取一点y，那么y-x0,应该和x垂直，于是我们很容易得到平面的方程
( y - x0)· x0 = 0
n维立方单体：就是边长为1的超立方体。我们讨论最特殊的一个
{ (x1,...,xn) | 0=< xi =< 1 }
这里我用了一个集合来表示，集合中的点就是所讨论的图形中的点。从坐标你能看出它有多少个顶点，多少条（一维的）边么？
球面： 球面是到点（我们取原点）的距离为定长的点的集合，所以我们可以表示为
{ x | |x| = R }
是不是很easy呢？ |
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狗仔卡
发表于 2010-7-21 23:03
提升卡
置顶卡
变色卡
发表于 2010-7-22 11:46
好吧，我承认我是欧几里得的忠实拥护者，没有原因（呃，可能是因为我最初看得那本译本封面很好看，= =）