谈谈无穷

大科技_杨

这个话题是由论坛上的一篇热帖引出来的，关于0.9…与1哪个大。对这个问题的争论在咱们论坛上竟然已经出现过好几拨了，大家的意见分歧很大，貌似都可以为自己的观点找到理由，却都没有提及对方的漏洞。
      当你写下0.99…的时候，请思考一下，它有什么意义。它本身只不过是一个数学符号，代表着一个数，一个实实在在确定的数，与1,2,3这些通常的数一样。而不是一个扑朔迷离、不断变化的幽灵。否则我们讨论它就没有任何意义了。
      主张0.9…比1小的人，大都是这样的理由：0.999…无论多少个9，都和1差着一点，虽然这一点越来越小，但它和1就是不相等。或者一种等价的说法是，1-0.9…等于无穷大分之1,是个正数。
我们来分析一下，我们用a代替 0.9…，这样做，一方面讨论起来方便；另一方面，也可以提醒大家：这是一个确定的数。请拿出一张纸，在上面写上一个0加一个小数点，然后在后面一个一个地添9。于是我们得到一列数
       0.9                0.99                0.999        。。。。
      这一列数，显然都比1要小，而且小的部分趋于零。但请注意，这一列数里，没有一个数等于a，它们比1小，也都比a小，而且小的部分趋于零。也就是说，不管添多少个9，它都比1小，这一点并不能作为1不等于a的证明。恰恰相反，根据我们的讨论，这一列数（称为一个数列）无限趋于1,也无限趋于a，正好证明了1=a。

      无穷这个东西真的很难琢磨，比如我说整数的个数是无穷多个，这句话到底在说什么呢。有一种定义，就是说，我任意提出一个要求，要你拿若干个整数出来，你都拿得出来。这样，就用“任意多”代替了“无穷多”。这时的无穷是个过程，一个无限变大的过程，有无限变大的潜力。有时，无穷是一个极限，比如上面的那个例子，0.9…，其实表示的是9的数目无穷多时的极限。
      中国古代有句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”可能是个巧合吧，这句话说得非常严谨，它说“万世”而没有说“无穷世”。把一条线段等分任意多次，当然会“不竭”；把一条线段无穷分的结果是一个点，而点的长度是0。
      所以说，“无穷大”与“任意大”还是有些区别的。举个最简单的例子，1+1+1….，任意多个1相加，其结果肯定是个自然数是吧，无穷多个1呢？得无穷大，就不是个自然数了。
      这个例子好像有点钻牛角尖，如果你是个高中生，学过一些区间的概念的话，我还可以举出更漂亮的例子，任意多个开区间的交是开区间，而无穷多个开区间的交就有可能是闭区间了。比如说(-1/n,1+1/n)   n取所有自然数，这些区间的交集是[0,1]。（注：无穷多个集合的交是这样定义的，A1,A2,…..的交A满足A是任意一个Ai的子集。这句没看懂没关系）

      总之，关键的关键是，我们在讨论任何问题时，要对所涉及的所有概念都有明确的定义，数学是容不得半点含糊了。千万别不知道自己在说什么了。

飞凡

比如说(-1/n,1+1/n)   n取所有自然数，这些区间的交集是[0,1]。

0和1怎么取到？
我感觉类似0.999……的这类东西无意义，数字本身就是我们的一种工具，比较1和它的大小有什么用呢？请多多指教，拨正这不正之思。

魂玉魄

实际上从某种意义上说[-1/n,1+1/n]的取值为[0,1]中0是指无论取任何一个小的负数,都存在比它更小的,故推之无穷于极限后,便为0;取1也同理,最后说到底就是一个极限思想

大科技_杨

回水星：
不论n取什么值（自然数），(-1/n,1+1/n)都包含0,1两个点。你说它没有意义我无法反驳
回金星：
[-1/n,1+1/n] 和(-1/n,1+1/n)是不一样的。
[a,b]表示所有 a<=x<=b的实数，(a,b)表示所有a<x<b的实数

hxl268

不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
【摘要】可数集的各元都必可有自然数“配偶”这一特点使自识正整数5千年来一直“深埋地下”的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子“破土而出”。从而************“标准实数完备”论揭示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球！这使大、中、小学课本有一系列重大错误：将部分误为全部（继而推出极荒唐“部分可=全部”）；误以为“各无穷级数都必无末项”使级数论有常识性与概念性错误而一直误以为证明了无限循环小数（例如0.99...）是有理数；...。
[关键词]最大自然数；标准及非标准无穷数；假自然数集；************百年自然数公理和集论；级数论；变量的变域；0.99...<1

风达

倒数第二段没看懂
不过解释的很有水平

大科技_杨

不好意思，自己顶一下，作为对hxl的回应。

hxl268

数学教师都在扼杀学生们的正常思维能力
恒可是两同位正纯小数的和的1=0.9+余数0.1=0.99+余数0.01=0.999+余数0.001=…=…=…。所有余数形成{1-0.9，1-0.99，1-0.999，…，1/10n，…}=B。因其是无穷数列，故其中必有形如x=0.99…（省略号表示的9多得写不完）的数以及相应的无穷小数△x =0.00…1（省略号表示的0多得写不完）。显然定义x=1就是定义数列中有数1/10n =0——违反起码数学常识！不少小学生均能正确察觉到形如此x的数无限逼近1但≠1。可见，若惟书不惟实则全世界数学教师都在传播谬误扼杀学生们的正常思维能力。
症结是不知∑9/10n的部分和的极限1与其所有项的和（见革命推论）x<1是两个根本不同的概念。同样，0.33…<1/3；…。可见“∑9/10n=1”等等，是误导人的式子，是概念性错误。正确的等式是：∑9/10n=1+无穷小数△x。说1+△x=1是在削足适履。康脱将有无穷多个正数的基本数列B定义为一个数0。小学生也一眼看出这是典型的指鹿为马及以1个为无穷多个的康健离脱的病态思想方法。
详论见黄小宁，再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J]，教育前沿，2007（12）：110。
本文是黄小宁《不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误》的一部分。

hxl268

这个话题是由论坛上的一篇热帖引出来的，关于0.9…与1哪个大。对这个问题的争论在咱们论坛上竟然已经出现过好几拨了，大家的意见分歧很大，貌似都可以为自己的观点找到理由，却都没有提及对方的漏洞。
      当你写 ...
大科技_杨 发表于 2009-11-2 00:10

你对什么是无穷数列还很不清楚啊！

谁能将自然数列N的项由小到大全都写出来？不能全写出来充分说明必有这样的n：即使永生不死的人也不可由1写到此n（用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。），原因是其是与1相隔无穷多个项的无穷大数，否则N就不是无穷数列了。这其实是个“光身皇帝是否光身？”的问题。
有穷数列Y的任何两项之间都绝对不能有无穷多个Y的项，但此性质不能硬套和强加在无穷数列上。

大科技_杨

1、再警告一次，请勿重复发帖。
2、你引用我这一段，根本体现不出我对无穷数列的理解。又何来我对无穷数列是什么不清楚呢？

hxl268

实事求是地说你缺乏起码的数学常识啊！

dylan

本鸟人认为：极限是一种对“超微量”的忽略！其中的“=”显然是一种逻辑上的错误！站在应用物理学的角度上：这种“超微量”是可以忽略不计的，但站在理论上：错的有点弱智！！

大科技_杨

请说一下极限的定义。

永恒的贝多芬

12# dylan

你不能用物理来驳斥数学。
物理量是量子化的，也就是说，物理里每种性质是具有最小度量的。
而数学中没有最小度量，所以数学上的极限的定义与计算没有问题。

PS：不知道你们学的数学是高等数学还是数学分析，如果是高等数学，那么建议你找本数学系用的数学分析看看。


op.298