斜抛运动

sunzhepeng

在一高为h的高塔上以速度v，水平夹角θ向上斜抛出一小球，不计空气阻力，问：当θ为多大时，小球落地点距高塔的水平距离最远？

[ 本帖最后由 sunzhepeng 于 2008-5-1 10:28 编辑 ]

中微子

即使函数s={vsinθ/g+[2gh+(vsinθ)^2]}^0.5*vcosθ取得极大值
求不出解析形式的解，需要代数算

感冒的冬天

应该说不存在数值解吧,像在平地时45度那样的解是不存在的,因为θ角的值与h相关,解析解还是存在的,求导就可以求出来,当然计算量不是一般大.- -#

中微子

求导以后是个超越方程，只能用数值解法

感冒的冬天

直接对θ求导确实会产生超越方程。我想可以先作一个替换，sinθ=Vy/V,cosθ=Vy/V.将上式替换成以Vx为自变量的式子。后对Vx求导可以克服超越方程的问题。
注:其实直接对θ求导产生的也不是超越方程,用万能公式变型后可解.

[ 本帖最后由 感冒的冬天 于 2008-2-21 20:19 编辑 ]

感冒的冬天

后来我用MATLAB把结果算出来了.
Vx=1/(2*g*h+2*v^2)*2^(1/2)*((g*h+v^2)*(v^2+2*g*h))^(1/2)*v
θ=arccos{[1/(2*g*h+2*v^2)*2^(1/2)*((g*h+v^2)*(v^2+2*g*h))^(1/2)*v]/v}
恶心的解析式

中微子

你强……Matlab我还不会用，貌似是个好东西

sunzhepeng

其实这道题目可以用速度所构成的闭合矢量三角形来解，很方便的，大家试试……

sunzhepeng

由动能定理可知，小球落地时的速度大小v(t)为√（2gh+v^2），全过程中速度的变化量Δv=gt，所以上图中速度矢量三角形的面积为1/2×（v×cosθ）×（gt），经过整理后变为
s=1/2×g×（v×cosθ×t），请注意括号中的部分即为水平位移，所以欲使水平位移最大，则上面三角形的面积必须最大，而s=1/2×sin（α+θ）×（v(t)×v），其最大面积为1/2×v(t)×v，所以水平位移最大为（v(t)×v）/g，
故水平位移最大为（v×√（2gh+v^2））/g