从庄家不输钱谈起

缥缈外星人

经常有人说”概率是毫无意义的事情，如果事情发生了，概率就是百分之百，如果没有发生，就是零”。这样的想法是对概率完全错误的理解。为了解释概率，我们从赌场坐庄开始。
   我们知道开赌场几乎没有输钱的。尽管有人从赌场赢了钱，但是输的人更多。很多人认为是赌场有”赌神”，或者赌场能”出老千”，其实都不是，赌场赢钱的原因在于概率的应用。换句话说，概率决定了赌场是占便宜的一方。赌客越多，赌场就越不容易输。
   我们来玩一个游戏：如果有14张牌，其中有一张是A；现在我来坐庄，一块钱赌一把，如果谁抽中了A，我赔他10块钱，如果没有抽中，那么他那一块钱就输给我了。有人赌吗？
   这样的一个赌局，为什么说我占了便宜呢？因为在抽之前，谁也不知道能抽到什么，但是大家可以判断抽到A的可能性要小得多，14张牌中才有一张，换句话说概率是十四分之一，而抽不中A的概率是十四分之十三。概率就是这样一个对未发生的事情会不会发生的可能性的一种预测。如果你只玩一把，当然只有两种可能：抽中了赢10块钱，没抽中输一块钱。但是，如果你玩上几百几千甚至更多把呢？有的抽中，有的抽不中，几千几百把的总结果是什么样的呢？
   这就是概率上的一个概念，叫做数学期望。可以理解成某件事情大量发生之后的平均结果。现在我们来看上面的那个例子，抽中的概率是1/14，结果是赢10块钱（+10），抽不中的概率是13/14，结果是输1块钱（-1）。把概率与各自的结果乘起来，然后相加，得到的”数学期望”值是（-3/14）。这就是说，如果你玩了很多很多把，平均下来，你每把会输掉（3/14）块钱。如果抽中A赔13块钱，那么数学期望值是0，你玩了很多把之后会发现结果最接近不输不赢。如果抽中A赔14块钱，那么数学期望值是1/14， 对你有利，大量玩的结果是你会赢钱，我当然不会这么设赌局。
    赌场的规则设计原则就是这样，无论看起来多么诱人，赌客下注收益的数学期望都是负值，也就是说，总是对赌场有利。因为有大量的人赌，所以赌场的收支结果会很接近这个值。比如美国的轮盘赌，38个数随机出，你压一个，压中了赔你35倍，没压中你的钱输掉。其它的赌局规则可能更复杂，比如21点，但是背后的概率原理是一样的，就是赌客的数学期望值是负数。像我们通常见到的彩票，如果所谓的返回比是55%的话，那么花一块钱的数学期望是赔掉0.45块。无论是赌场还是彩票，幸运儿的产生必定伴随着大量献爱心的人。赌场和彩票生意兴隆的基础，是每个人都认为自己会是那个幸运儿。
    数学期望的概念是作理性决策的基础。我们做任何一项投资，做任何一个决定，都不能只考虑最理想的结果，还要考虑到理想结果出现的概率和其他结果及其出现的概 率。否则，如果只考虑最理想的结果，大家都应该从大学里退学–从大学退学的最理想结果是成为世界首富，那个叫比尔盖茨的家伙。
    概率问题的关键是随机性，比如扔一个硬币，谁也无法预测是正面还是反面。同样，掷骰子、摇奖也是。有个最搞笑的职业叫”彩评家”，号称分析彩票号码的规律， 预测下一期最可能的号码。电视里的”彩评”节目往往是专家侃侃而谈，主持人做兴致盎然崇拜状。经常听到的话是”这几个数字前两期出现了，根据概率，下一期 不大可能出现”。这可以称之为一本正经地胡说八道。按照概率理论，两件不相干的事情都发生的概率是各自发生概率的乘积，所以两件不相干的各自概率为万分之 一的事情都发生的可能性是一亿分之一。但是，如果一件已经发生了，那么另一件发生的概率还是万分之一，跟已经发生的事情无关。只要彩票的摇奖没有丑闻，那 么中奖数字是无法预测的。不管前几期出现了什么号码，下一期的号码仍然是随机的。出现过的数字不会避嫌，没出现过的数字也不受到照顾。不过观众还是会觉得 “彩评家”的”预测”是对的，因为他说不会出现的号码后来确实没有出现。其实这种”彩评家”每个人都可以当–你随便写几个数，说”下一期这几个数不会出 现”，再找个神神叨叨的理由，你也就成”大师了”。因为你不管你写什么数字，中彩的可能性都是非常非常小的。
    据说概率是起源于赌场的学问，但是它的价值已经远远超出了赌博。这里举一个很现实的把概率知识转化成经济效益的例子：要在人群中普查一种病，检查方式是抽血检测其中是否含有某种病毒，这种病在人群中的发生率比较低，比如说1%。对于这样的一种普查，成本最高的地方是检测血液，如果能减少血液检测的数量，就能节约大量成本。我们很自然地想到抽每个人的血，然后检测，这样有多少人就验多少份血，简单明了。为了形象起见，假设有1000万人，那么直接检测的方案是测1000万份血。现在我们换一下思路，把抽来的血两两混合，送去检测，如果检测结果阴性，表明原来的两份血都没问题；如果结果阳性，表明至少有一份血有问题，就把两份都重测。这样也可以确定每个人的带病情况。这样作的总检测量是多大呢？两两混合之后，要检测500万份，然后结果阳性的那些重测，大概是20万（1000万人的1%是10万人带病，导致20万份血重测），总共检测520万份的样子。实际上还有一部分阳性的样品是混合的两份血都带病，这样实际的阳性结果比10万份还要少。总之我们看到，检测总数几乎减少了一半，能省很多钱了吧？如果把10份血混一起再测呢？同样的分析，先要检测100万份，加上结果呈阳性的最多10万份混合样品重测–共100万份原始血样需要重测，总共最多检测200万份就搞定了。
    在这个例子里，多少份血混在一起最划算，取决于人群中的发病概率，跟要检测的总人数无关。另外一个考虑因素是血样混合之后，病毒浓度被稀释了，是否还能被检测出来。综合考虑这些因素，运用概率和并不复杂的优化计算，可以精确地算出把几份血样混在一起最省钱而又能完成任务。