关于绳子的自然形状

liota · 发表于 2007-12-8 23:41

首先,我先详细的陈述一下这个问题

就是说,一条无限柔软且不记厚度的绳子,抓住两端,中间自然下垂呈一条弧线,这条弧线的形状将是怎么样的(轨迹方程),

经过我的深思与实践观察后,猜想可能为抛物线方程或者是y=a*cosh(kx)型的方程,

后来去问老师,老师说他不知道,他也没办法证明.........

由于可能会用到数学分析的知识,我才高一,只能看懂和做一些简单的运算,对于证明论题来说能力有限,所以请个位各抒己见,并且最好可以给一严谨的证明.....

[ 本帖最后由 liota 于 2007-12-11 12:58 编辑 ]

hesiyuhappy · 发表于 2007-12-9 11:37

条件是绳长和固定两点的水平距离（目前我只知道两端点在一条水平线上的情况）
我做过个和这个差不多的题，不过说的是铁链
你可以考虑分析半条绳（从最低点分开）的固定点和最低点的受力情况
注意最低点受另半条绳的拉力方向水平

中原 · 发表于 2007-12-9 11:41

这个你等几天，我最近如果算不出来去问问工力或者物理老师

liota · 发表于 2007-12-9 13:13

好好好!!!:loveliness: :loveliness: :loveliness:

中微子 · 发表于 2007-12-9 20:07

是摆线
用泛函分析和偏微分方程都可以做
泛函方便一些：假设绳子两个固定端的横坐标分别是a,b，纵坐标为y0，重力势场U=gy，设稳定时绳子的形状为y=y(x)，则稳定时绳子的重力势能应取极小值，即积分（上下限为b,a）
∫gy[1+(y')^2]^0.5dx极小
令f(x,y,y')=gy[1+(y')^2]^0.5，用泛函条件df/dy=d/dx*(df/dy')可解得y-y0=Ccosh[(x-a)/C]，其中C为常数，可以利用y=y0时x=b解出C，具体运算从略

感冒的冬天 · 发表于 2007-12-9 21:58

是悬链线吧,悬链线似乎和摆线不一样.不过方程没错,是y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)
摆线是最速下降线.

liota · 发表于 2007-12-9 23:08

哇,太强大了..生活中的一个普通现象的解析居然这么复杂,居然要用到泛函分析,可惜小弟我还没学到..[中微子]的回答,从"令f(x,y,y')=gy[1+(y')^2]^0.5"以后完全看不懂,,,,,

不过我在看数学分析里面曲线讲曲率半径的时候看到了"悬链线"这个词,函数型是COSH型的..

生活真强大!

liota · 发表于 2007-12-9 23:10

如果不嫌麻烦的话,能不能用偏微分方程做一下,,,或许我可以看懂,,,,

感冒的冬天 · 发表于 2007-12-10 12:01

现在先讨论最低点右侧的情形,设最低点向左的拉力为K,右悬点受到的拉力为T,θ为T和水平方向的夹角,绳子的质量为M,则
Tsinθ=Mg/2
Tcosθ=K
设右侧绳长为S,P为密度,并假设横截面积为1.
对于绳上任意点有
tanθ=dy/dx=ps/k
ds=[1+(dy/dx)^2]^(1/2)*dx, s=∫[1+(dy/dx)^2]^(1/2)*dx;
dy/dx=p∫[1+(dy/dx)^2]^(1/2)*dx/K
设A=dy/dx, dA/dx=p(1+A^2)^(1/2)/K
∫dA*[1/(1+A^2)^(1/2)]=∫p/K*dx
ln[A+(1+A^2)^(1/2)]=px/K+c
取c=0
1+A^2=e^(2px/K)-2Ae^(px/K)+A^2
dy/dx=[e^(px/K)-e^(-px/K)]/2
y=K/(2ρ)*[e^(px/K)+e^(-px/K)]
令a=p/K
y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)
打在电脑上好难打,我自己看着都乱,不知道有没有打错,大概就是这样把,我的word编辑公式的功能没安

liota · 发表于 2007-12-10 14:17

~Good job!

中原 · 发表于 2007-12-10 21:12

恩~我就不用工作了
（问了一下微积分老师，他说比较繁琐，我有些东西没学好。。。）

liota · 发表于 2007-12-11 12:57

~~同样感谢　中原。

干劲ZERO · 发表于 2007-12-11 13:24

兄弟们好强```
大家都读几年纪吖`

中微子 · 发表于 2007-12-11 14:42

原帖由 感冒的冬天 于 2007-12-9 21:58 发表
是悬链线吧,悬链线似乎和摆线不一样.不过方程没错,是y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)
摆线是最速下降线.

对的，我口误

liota · 发表于 2007-12-11 17:51

我高一:P :P :P

感冒的冬天 · 发表于 2007-12-11 21:51

我大一，中微子也是吧.暑假里一起解决了不少群里的问题.中微子已经看到泛函分析了吗?我还在看数学分析.虽然很想马上就看更高深的东西,不过还是每一步都走得坚实最重要,数分里有相当多有趣的东西.那个泛函的方法我好像在数学建模的教程里看到过.

[ 本帖最后由感冒的冬天于 2007-12-12 12:37 编辑 ]

干劲ZERO · 发表于 2007-12-13 08:32

我也大一``
为何差距这么大```

sunzhepeng · 发表于 2007-12-13 17:22

谁有那些关于高等数学的书呢?

感冒的冬天 · 发表于 2007-12-13 19:08

我有,是要电子书吗?pdf格式的.不过主要是数分,高数都是垃圾书,什么也学不到.

[ 本帖最后由感冒的冬天于 2007-12-13 19:13 编辑 ]

sunzhepeng · 发表于 2007-12-14 12:07

可以呀,谢谢你,感冒的冬天.
怎么联系?

感冒的冬天 · 发表于 2007-12-14 19:33

加我Q,我发给你.QQ我资料里也有写啊

[ 本帖最后由感冒的冬天于 2008-8-24 20:54 编辑 ]

风达 · 发表于 2008-1-4 17:12

生活的很多问题都值得我们去思考去发现
或许只是很简单的
但是最难得的就是你能不能去思考

白痴 · 发表于 2008-3-2 13:15

高一就那么难啊 ,,
我全看不懂啊 .
我初三

ZHL19910725 · 发表于 2008-5-1 01:34

中国难度和外国果然沒法比.....我高2，才学到微分.....特点是繁琐！

叶陶 · 发表于 2008-5-1 03:26

绳子，是拉不直的。假设拉直了，可是动力，无力距。。所以重力向下拉，平衡时，必有力距。。。。。。。可以进行局部受力与整体受力分析，进行计算

火士 · 发表于 2009-1-19 14:47

那可不就是抛物线吗

随风 · 发表于 2009-1-22 04:21

我们大学高数书上证过好象。就是一个SH或者CH吧！

982269582 · 发表于 2009-3-21 22:54

都是强人啊！！！！！！！！！！！！！1

小袖轻香 · 发表于 2009-3-28 16:56

高一数学考20分的人飘过~~~~~
看不懂啊看不懂

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