[原创]追逐的路程

大科技_杨

　　一个很经典的问题。
　　设在正方形的四个顶点处均有一只甲虫，四只甲虫同时开始以相同的速率运动，方向始终向着在其顺时针方向与之相邻的甲虫。显然，四只甲虫会在中心会合。如果正方形的边长为１，那么当甲虫会合时各走过了多少路程？
　　有本书上是这样解的，假设一开始的时候正方形的每条边都有细线，连着相邻的甲虫，甲虫自己不会爬，只会通过吃细线来拉着自己前进（甲虫运动方向完全沿绳，为此，可以设想甲虫质量为０或与地面的摩擦力很大，以至于显示不出“惯性”）。那么他们走过的路程应该和吃掉的细线的长度相等，即原正方形的边长１。
　　这样的解释比较难于理解，那就让我们尝试着使用稍微高级一点儿数学知识来解决吧。我们观察其中两只相邻的甲虫，根据对称性，两只甲虫的速度方向总是夹一个不变的角——π/2。设定几个记号：追逐者的位置是P1，被追者的位置是P2，两者的相对位置P=P2-P1。则|P|表示两者的距离。（这里加粗的字都表示向量）
　　d|P|/dt=d√(P^2)/dt
　　　　　 =P•(dP2/dt-dP1/dt)/|P|
      　   =(P•dP2/dt-P•dP1/dt)/|P|
　　由于dP1/dt表示追逐者的速度，dP2/dt表示被追者的速度，P表示相对位置。因此，P与dP1/dt共线，与dP2/dt垂直。即
　　d|P|/dt=-|P|*(|dP1/dt|) /|P|
　　　　　 =-|dP1/dt|　　；负号表示距离减少。
　　这个式子表示“吃绳子”的速率（即二者距离的变化率）确实等于追逐者爬行的速率。两边积分得，追逐者爬过的路程等于吃掉绳子的长度。
　　此方法不但能用于速度互相垂直的情况，把正方形换成任意的多边形，此方法都适用。设多边形的边数为n，每个内角的大小为θ=2π/n，则
　　d|P|/dt=(P•dP2/dt-P•dP1/dt)/|P|
　　　　　 =|dP2/dt|*cosθ-|dP1/dt|
　　两边积分即得
　　Δ|P|= s*cosθ-s ；其中s=∫|dP2/dt|dt=∫|dP1/dt|dt表示每只甲虫爬过的路程。
　　∴-1=(cosθ-1)s
　　s=1/(1-cosθ)
　

中微子

话说LZ……其实这几题不用微积分照做的，你要用微积分的话不妨一块把甲虫的运动轨迹求出来。改天把这个题出到智力直通车版里

大科技_杨

轨迹真不好求,不像是初等函数

中微子

提示：轨迹是螺旋线，方程暂时不给出了
另：解此题用速度分解

大科技_杨

在中微子大哥的提醒下,我终于用极坐标把它解决了.
      我得到的结果是,如果一个运动的点的速度方向和矢径方向夹一个恒定的角的话,那么它的轨迹用极坐标表示就是r=r0*exp(-kt)的形式.k好像等于那个角的余切吧.在这个问题里面,速度和矢径的夹角恒为45度.
      还有一个非常有趣的结果是,如果甲虫的速度大小恒定的话,那么它们只要有限的时间就可以在中心相遇,不过相遇前要转过无数圈!!