一个古老的问题

我是谁

一个10米长的身子和一个蚂蚁平行，蚂蚁向一个方向以2cm/s的速度爬行，绳子以20cm/s的速度向两边无限延长（即每秒在一个方向上增长10cm)请访问蚂蚁是否能爬到绳子的端点

布莱克彩虹

第一直觉是不能 可能是我没发现玄机

感冒的冬天

一阶线形微分方程。dx/dt=10x/（500+10t）+2。带公式就可以了。

寒星

应该不可以!因为绳子的速度比蚂蚁快!

大科技_杨

如果蚂蚁在绳子上的话是可以的。用x表示蚂蚁爬过的比例（假设一开始蚂蚁处于绳子的一端。那么dx/dt=2/(20t+100)
解法是这样的，先变形：
dx=2dt/(20t+100)
两边积分
x=0.1ln(20t+100)+C
利用初始条件，t=0时，x=0,确定Ｃ得，
x=0.1ln((20t+100)/100)
当x=1时，t=5e^10-5

感冒的冬天

to 杨：如果蚂蚁在绳子上的一端，是到不了另一端的。题目没有讲得很清楚，但我想蚂蚁应该是在绳子上爬的，同时绳子向2端拉伸，以地面为参考系的话，不动点是中点，如果以端点为坐标系，要记得要做坐标变换。另外绳子上每一点的速度是不同的，在绳子上的蚂蚁即使不动也将获得和所在位置相同的速度，你从新看下你的方程和单位换算

[ 本帖最后由 感冒的冬天 于 2008-8-10 16:17 编辑 ]

大科技_杨

不动点是没有意义的，只要看蚂蚁距绳两端的距离就行了。我的方程在什么参考系里都适用的。

感冒的冬天

按你的方法x是长度比，2是速度，(20t+100)却是长度。2/(20t+100)是没有意义的，而且你的单位也换算错了。比例不关联与参考系，但是速度却是关联的。

大科技_杨

(为了防止误解,我的x将用q表示)
速度比长度怎么没有意义?
左边x没有单位,t的单位是秒.右边速度除以长度的单位是厘米每秒除以厘米,也是秒的负一次方,何错之有?不过10米好像是1000厘米啊,不好意思!!应该更正如下:
dq=2dt/(20t+1000)
q=0.1ln((20t+1000)/1000)
q=1时
t=50e^10-50

首先我们要约定一点,就是蚂蚁相对于绳上其与其接触的一点的速度是2.想信这一点你应该也没有异议.那么在dt时间里面,蚂蚁相对于绳子走过了2dt的距离,而这2dt的距离占绳子的长度是2dt/(20t+1000)即比上绳子的总长度.由于蚂蚁在绳子上,因此即使蚂蚁不动的话,它在绳子上的"相对位置"也不变.
我上一次可能说得不太清楚,对于确定的参考系,不动点是有意义的,但是我们的蚂蚁是"理想的",因此不用考虑是不是惯性系,所有的参考系都是等效的----都会得出同样的结论.因为我用"相对长度",就可以脱离特定的参考系来讨论问题了.如果你觉得很难理解的话,你可以把问题等效成这样的:绳子总长度不变,但是蚂蚁的速度不断变小,其相对于时间的函数关系为v(t)=2*100/(20t+100)
你的方程没有错误(金星),其实我们的方程是等价的,会给出同样的结果.你的方程不大好解,我不知道怎么代公式请指教.你可以解解看看,肯定能到头的,下面我将证明我的方程和你的方程等价(为了防止误解,我的x将用q代替):
我的结果是q=0.1ln((20t+1000)/1000)
所以变到你的参考系里面,应该有
x=q(20t+1000)-(10t+500)
两边对t求导得
dx/dt=dq/dt*(20t+1000)+20q-10
将上两式代入你的方程
就可以得到我的方程了！！！！可能稍麻烦一点儿，要准备够演草纸！

如果还有什么异议的话，可以加我的ＱＱ即时讨论！！604470917

[ 本帖最后由 大科技_杨 于 2008-8-11 14:16 编辑 ]

感冒的冬天

确实你的方程也是对的。从端点是可以到另一端点的

大科技_杨

顺便给我讲一下怎么解你那个方程好吗？