让造假帐者胆寒的定律

中原

这是一个奇特的定律，它的形成原因直到今天还没能被破解——

让造假帐者胆寒的定律

朱帆远/文

    十进制是世界上通用的数字的表示方法。从常理上说，世界上千千万万的数据（非零开头）的开头数字是1到9中的任何一个数字，而且每个数字打头的概率应该差不多。现在，请你随便找本书，比如物理课本或者数学课本，统计一下上面的各种数据的开头数字，看看是否符合我们的设想。
    如果你统计的数据足够多，你就会惊讶地发现，打头数字是1的数据最多，大约占了所有数据的1/3左右，打头是2的数据其次，往后依次减少。难道是人们对1情有独钟，把它时常写在数据的最前面？

肮脏的对数表书页
    首先要恭喜你，你发现了数学上的一个有趣的规律，这就是本福特定律。据说这个定律在1881年首先被一位天文学家在分析数据的时候发现，但是当时的科学家们并没有对这个发现当回事。直到1935年，美国的一位叫做本福特的物理学家重新发现了这个定律。当时，他在图书馆翻阅数学的对数表时发现，对数表的头几页比后面的页更脏一些，这说明头几页在平时被更多的人翻阅。这本来并不奇怪，因为许多读书人都先看看书的开头，不喜欢就不继续读下去。但是，对数表却是一种数学工具，只有需要查数据的人才会去碰它。因此，头几页如果比较脏，这就说明人们查阅的数据大多在头几页里，也反映出人们使用的数据并不是散乱的，而是有些数据使用的频率高。
    本福特再进一步研究后发现，只要数据的样本足够多，同时数据没有特定的上限和下限，则数据中以1为开头的数字出现的频率并不是人们想当然认为的1/9，而是0.301，30%的数字都以1开头。而以2为首的数字出现的频率是0.176，3打头出现的频率为0.125，往后依次减少出现频率，9的出现频率最低，只有4.6%。这个规律甚至能用一个数学方程来表示。
    除了对数表，其他类型的数据是否也有这样的现象呢？本福特开始对其它数字进行调查，发现各种完全不相同的数据，比如人口、死亡率、物理和化学常数、棒球统计表、半衰期放射性同位数、物理书中的答案、素数数字以及斐波纳契数列数字中，均有这个定律的身影。

定律成因之谜
    本福特定律在生活中很常见，但是为什么人们使用的数据会有这样的现象呢？几十年来，人们提出了一些猜想来解释这个现象。

1961年，一位美国科学家提出，本福特定律其实是数字累加造成的现象。比如，人们用千米作为河流的长度单位时，显然长度在1000千米到2000千米之间的河流（长度数据开头是数字1）要多于2000千米到3000千米的河流（长度数据开头是数字2），小河流很多，而大河很少，因此河流的数据满足本福特定律。同样，以英里、光年、微米、尺等作为长度单位的数据也都满足这一定律。
    即使没有单位的数字，只要是有累进递加，本福特定律就会出现。比如，假设股票市场上的指数一开始是1000点，并以每年10%的速度上升，那么要用7年多时间，这个指数才能从1000点上升到2000点的水平；而由2000点上升到3000点只需要4年多时间；由9000点上升到10000点所需的时间更短，只要1年多就可以了。但是，如果要让指数从10000点上升到20000点，还需要等7年多的时间。因此我们看到，以1为开头的指数数据，出现的频率比以其他数字打头的指数数据要高很多。
    这个解释似乎很合理，但是却不能解释对数表，因为对数表中的数据既没有单位，也不存在什么累加的现象，只是对所有的数字取对数得到的大量数值，里面却出现了规律性的东西。看来，本福特定律产生的真正原因并没有得到揭示。
此外，还有一些生活中的数据并不符合本福特定律。比如，人们研究了彩票的中奖号码，发现里面并没有这样的规律，否则数学家就可以利用该规律增加自己中彩票的概率了。到底什么样的数据会出现本福特定律，什么样的数据中没有本福特定律？这个问题同样让数学家难以解决。

抓住做假帐者的手
    虽然本福特定律不能让买彩票的人发财，但是在生活中却可以发挥作用，让做假帐的人现出原形。
    数学家发现，帐本上的数据的打头数字出现的频率符合本福特定律，如果做假帐的人更改了真实的数据，就会让帐本上打头数字出现的频率发生变化，偏离本福特定律中的频率。    非常有趣的是，数学家们发现，在那些假帐中，数字5和6居然是最常见的打头数字，而不是符合定律的数字1，如果审核帐本的人员掌握了本福特定律，伪造者就很难制造出虚假的数据了。2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，当时传出了该公司高层管理人员涉嫌做假帐的传闻。事后人们发现，安然公司在2001年到2002年所公布的每股盈利数字就不符合本福特定律，这证明了安然的高层领导确实改动过这些数据。
最近数学家还把本福特定律用于选举投票中。票数的数据也符合这个定律，如果有人修改选票数量，就会露出蛛丝马迹来。数学家依据这一定律发现，在2004年美国总统选举中，佛罗里达州的投票存在欺诈行为；2004年委内瑞拉和2006年墨西哥的总统选举中也有篡改选票数量的现象。
虽然本福特定律的形成原因还没有最终解释，但这并不妨碍人们把它应用到越来越多的生活领域中，帮助人们伸张正义，去伪存真。

西夜沙

喔~~~~我喜欢。~~~

穿越黑洞

很有意思的定律哦，，学习了

白痴

1 ....
真是个好数字啊 .

王为

大科技杂志上看到过

860021519

大开眼界

tulks

真学习了！

黑暗

今年没订大科技很遗憾，但在这里可以学习真高兴。本福特定律学了。谢谢逐鹿中原。

olivor

很好的工具吗，受教了。