问一题

天才Albert

设n为任意整数，p为任意质数，证：n^p-n能被p整除。
（讲清楚点，我在这方面白痴）

|十匹狼|

n为任意整数，n=0命题就不成立了，是不是题目搞错了

天才Albert

回复 2# 799529580
要你证耶！例子谁都会举。

|十匹狼|

我已经举了一个反例，说明这道证明题本就不对，还用证什么

青出于

你举得的例子是错的啊，n=0的时候显然是成立的

湖心收锋

n^p-n=n(n^p-1+1)=n{[（n-1）+1]^p-1}
要证n{[（n-1）+1]^p-1}能被P整除，即证[（n-1）+1]^p-1能被P整除.
用二项式展开:额~不会输入啊.会输的帮我继续!

PROTON

同意LS
需要使用二项式展开来做.....

大科技_杨

二楼的例子不是反例。因为零能被任何数整除。
楼主的问题可由费马小定理推出：对任何整数n，只要n不是素数p的倍数，则n^(p-1)-1 能被p整除。

天才Albert

回复 8# 大科技_杨
讲讲清楚？

绿色草原

是的，费马小定理的变型，高中奥数就有

天才Albert

拜托，我初中。

大科技_杨

回复 11# 天才Albert


    你可以去查

寻找港湾

　一、准备知识： 　　引理1．剩余系定理2 　　若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m) 　　证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m) 　　引理2．剩余系定理5 　　若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。 　　证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。令(1)：a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m)(顺序可以不同),因为只有在这种情况下才能保证集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2个数不同余，否则必然有2个数同余。由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}对m构成完全剩余系。 　　引理3．剩余系定理7 　　设m是一个整数，且m>1，b是一个整数且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的一个完全剩余系，则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系。 　　证明：若存在2个整数ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m)，根据引理2则有a≡a[j](mod m)。根据完全剩余系的定义和引理4（完全剩余系中任意2个数之间不同余，易证明）可知这是不可能的，因此不存在2个整数ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]构成模m的一个完全剩余系。 　　引理4．同余定理6 　　如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m) 　　证明：由题设得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m)，由模运算的传递性可得ac≡bd(mod m) 　　二、证明过程： 　　构造素数p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)}，因为(a,p)=1，由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的一个完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1)，显然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因为{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系，由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1，由引理1可知a^(p-1)≡1(modp）